Desigualtat de Hölder

En anàlisi matemàtica la desigualtat de Hölder és una desigualtat important entre integrals i una eina indispensable per a l'estudi d'espais ${\displaystyle L^{p}}$.

Sigui ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ un espai de mesura i siguin ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ dos nombres reals, amb ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ i tals que ${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}$. Llavors, la desigualtat de Hölder afirma que per tot parell de funcions ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ i ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$ es compleix que ${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$, o, de manera més explícita, que ${\displaystyle \int _{S}fg\ d\mu \leq (\int _{S}|f|^{p}\ d\mu )^{1/p}(\int _{S}|g|^{q}\ d\mu )^{1/q}}$.

En el cas ${\displaystyle p=q=2}$ és coneguda com a desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Bibliografia

• Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130.
• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, ISBN 0521358809