Mecanisme de quatre barres

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.
Mecanisme de quatre barres.

En enginyeria mecànica, un mecanisme de quatre barres o quadrilàter articulat és un mecanisme format per tres barres mòbils i una quarta barra fixa (per exemple, el sòl), unides mitjançant nusos articulats (unions de revoluta o pivots). Les barres mòbils estan unides a la fixa mitjançant pivots. Usualment les barres es numeren de la següent manera:

  • Barra 2. Barra que proporciona moviment al mecanisme.
  • Barra 3. Barra superior.
  • Barra 4. Barra que rep el moviment.
  • Barra 1. Barra imaginària que vincula la unió de revoluta de la barra 2 amb la unió de revoluta de la barra 4 amb el terra.

Llei de Grashof

La Llei de Grashof és una fórmula utilitzada per analitzar el tipus de moviment que farà el mecanisme de quatre barres: perquè existeixi un moviment continu entre les barres, la suma de la barra més curta i la barra més llarga no pot ser major que la suma de les barres restants.

Diferents mecanismes amb diferents resultats
Diferents mecanismes amb diferents resultats

Anàlisi de posició

Per mesures físiques fàcilment es poden tenir les longituds de les barres 1, 2, 3, 4. Ja que la barra 1 és estacionària, el seu angle és fix. Es diu que l'angle de la barra 2 respecte a l'horitzontal és una variable controladora. Per tant, les incògnites són els angles de les barres 3 i 4.

Equació vectorial:

l ¯ 2 + l ¯ 3 = l ¯ 1 + l ¯ 4 {\displaystyle {\bar {l}}_{2}+{\bar {l}}_{3}={\bar {l}}_{1}+{\bar {l}}_{4}}
L 2 cos ⁡ θ 2 i + l 2 sin ⁡ θ 2 j + l 3 cos ⁡ θ 3 i + l 3 sin ⁡ θ 3 j = l 1 cos ⁡ θ 1 i + l 1 sin ⁡ θ 1 j + l 4 cos ⁡ θ 4 i + l 4 sin ⁡ θ 4 j {\displaystyle L_{2}\cos \theta _{2}i+l_{2}\sin \theta _{2}j+l_{3}\cos \theta _{3}i+l_{3}\sin \theta _{3}j=l_{1}\cos \theta _{1}i+l_{1}\sin \theta _{1}j+l_{4}\cos \theta _{4}i+l_{4}\sin \theta _{4}j}

Separant les equacions en direcció "i" i direcció "j"

Equació en "i": l 2 cos ⁡ θ 2 + l 3 cos ⁡ θ 3 = l 1 cos ⁡ θ 1 + l 4 cos ⁡ θ 4 {\displaystyle l_{2}\cos \theta _{2}+l_{3}\cos \theta _{3}=l_{1}\cos \theta _{1}+l_{4}\cos \theta _{4}}
Equació en "j": l 2 sin ⁡ θ 2 + l 3 sin ⁡ θ 3 = l 1 sin ⁡ θ 1 + l 4 sin ⁡ θ 4 {\displaystyle l_{2}\sin \theta _{2}+l_{3}\sin \theta _{3}=l_{1}\sin \theta _{1}+l_{4}\sin \theta _{4}}

Com es coneixen l'angle de la barra 2 i l'angle de la barra 1, és possible simplificar realitzant els següents canvis de variable:

A = l 2 cos ⁡ θ 2 − l 1 cos ⁡ θ 1 {\displaystyle A=l_{2}\cos \theta _{2}-l_{1}\cos \theta _{1}}
B = l 2 sin ⁡ θ 2 − l 1 sin ⁡ θ 1 {\displaystyle B=l_{2}\sin \theta _{2}-l_{1}\sin \theta _{1}}

Amb la qual cosa queda el sistema d'equacions com:

A + l 3 cos ⁡ θ 3 = l 4 cos ⁡ θ 4 {\displaystyle A+l_{3}\cos \theta _{3}=l_{4}\cos \theta _{4}}
B + l 3 sin ⁡ θ 3 = l 4 sin ⁡ θ 4 {\displaystyle B+l_{3}\sin \theta _{3}=l_{4}\sin \theta _{4}}

En elevar els termes al quadrat i sumar les dues equacions, tenint en compte que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1} , se simplifica de la següent manera:

A 2 + 2 A l 3 cos ⁡ θ 3 + B 2 + 2 B l 3 sin ⁡ θ 3 + l 3 2 = l 4 2 {\displaystyle A^{2}+2Al_{3}\cos \theta _{3}+B^{2}+2Bl_{3}\sin \theta _{3}+l_{3}^{2}=l_{4}^{2}}
A cos ⁡ θ 3 + B sin ⁡ θ 3 = l 4 2 − l 3 2 − A 2 − B 2 2 l 3 {\displaystyle A\cos \theta _{3}+B\sin \theta _{3}={\frac {l_{4}^{2}-l_{3}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{3}}}}

És possible tornar a simplificar fent el següent canvi de variable:

C = l 4 2 − l 3 2 − A 2 − B 2 2 l 3 {\displaystyle C={\frac {l_{4}^{2}-l_{3}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{3}}}}

Utilitzant les identitats trigonomètriques

sin ⁡ θ   = 2 tan ⁡ 1 2 θ   1 + tan 2 ⁡ 1 2 θ   {\displaystyle \sin \theta \ ={\frac {2\tan {\frac {1}{2}}\theta \ }{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }}} , cos ⁡ θ   = 1 − tan 2 ⁡ 1 2 θ   1 + tan 2 ⁡ 1 2 θ   {\displaystyle \cos \theta \ ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }}}

i substituint les identitats en l'equació:

A ( 1 − tan 2 ⁡ 1 2 θ 3 ) + B ( 2 tan ⁡ 1 2 θ 3 ) 1 + tan 2 ⁡ 1 2 θ 3 = C {\displaystyle {\frac {A\left(1-\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta _{3}\right)+B\left(2\tan {\frac {1}{2}}\theta _{3}\right)}{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta _{3}}}=C}

s'obté una equació quadràtica. En utilitzar la fórmula general per resoldre el sistema s'obté:

tan ⁡ 1 2 θ 3 = B ± A 2 + B 2 − C 2 C + A {\displaystyle \tan {\frac {1}{2}}\theta _{3}={\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-C^{2}}}}{C+A}}}

El valor per l'angle de la barra 3 és el següent:

θ 3 = 2 tan − 1 ⁡ ( B ± A 2 + B 2 − C 2 C + A ) {\displaystyle \theta _{3}=2\tan ^{-1}\left({\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-C^{2}}}}{C+A}}\right)}

Per obtenir el valor de l'angle de la barra 4 és el mateix procediment, definint el següent canvi de variable:

D = l 3 2 − l 4 2 − A 2 − B 2 2 l 4 {\displaystyle D={\frac {l_{3}^{2}-l_{4}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{4}}}}

El valor de l'angle de la barra 4 resulta:

θ 4 = 2 tan − 1 ⁡ ( B ± A 2 + B 2 − D 2 D + A ) {\displaystyle \theta _{4}=2\tan ^{-1}\left({\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-D^{2}}}}{D+A}}\right)}

NOTA: els dos valors que es poden obtenir per a cada angle representen les diferents configuracions del sistema.

Anàlisi de velocitat

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode de la velocitat relativa

Dades d'entrada

  • L'única dada referit a velocitat que es coneix en un mecanisme de quatre barres és la velocitat angular de la barra 2.
  • Mitjançant una anàlisi prèvia de posició es coneix la informació de les barres.

Per a l'anàlisi es procedirà a buscar la velocitat del punt B (unió de la barra 3 i 4). Per a aquest punt hi ha dues trajectòries possibles: des O 2 {\displaystyle O_{2}\,} fins B i des O 4 {\displaystyle O_{4}\,} fins B. Per començar es defineix la velocitat de B pel que fa a la barra 4

V ¯ B = ω ¯ 4 ×   l ¯ 4 = ω 4 l 4 cos ⁡ θ 4 j ^ − ω 4 l 4 sin ⁡ θ 4 i ^ {\displaystyle {\bar {V}}_{B}={\bar {\omega }}_{4}\times \ {\bar {l}}_{4}=\omega _{4}l_{4}\cos \theta _{4}{\hat {j}}-\omega _{4}l_{4}\sin \theta _{4}{\hat {i}}}

Ara es definirà la velocitat del punt B respecte a l'altra trajectòria.

V ¯ B = V ¯ B | A + V ¯ A = ω ¯ 3 ×   l ¯ 3 + ω ¯ 2 ×   l ¯ 2 {\displaystyle {\bar {V}}_{B}={\bar {V}}_{B|A}+{\bar {V}}_{A}={\bar {\omega }}_{3}\times \ {\bar {l}}_{3}+{\bar {\omega }}_{2}\times \ {\bar {l}}_{2}}

V ¯ B = ω 3 l 3 cos ⁡ θ 3 j ^ − ω 3 l 3 sin ⁡ θ 3 i ^ + ω 2 l 2 cos ⁡ θ 2 j ^ − ω 2 l 2 sin ⁡ θ 2 i ^ {\displaystyle {\bar {V}}_{B}=\omega _{3}l_{3}\cos \theta _{3}{\hat {j}}-\omega _{3}l_{3}\sin \theta _{3}{\hat {i}}+\omega _{2}l_{2}\cos \theta _{2}{\hat {j}}-\omega _{2}l_{2}\sin \theta _{2}{\hat {i}}}

Igualant les equacions per V ¯ B {\displaystyle {\bar {V}}_{B}\,} i separant els components, s'obté un sistema de dues equacions amb dues incògnites.

i ^ → − ω 4 l 4 sin ⁡ θ 4 = − ω 3 l 3 sin ⁡ θ 3 − ω 2 l 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle {\hat {i}}\rightarrow -\omega _{4}l_{4}\sin \theta _{4}=-\omega _{3}l_{3}\sin \theta _{3}-\omega _{2}l_{2}\sin \theta _{2}}

j ^ → ω 4 l 4 cos ⁡ θ 4 = ω 3 l 3 cos ⁡ θ 3 + ω 2 l 2 cos ⁡ θ 2 {\displaystyle {\hat {j}}\rightarrow \omega _{4}l_{4}\cos \theta _{4}=\omega _{3}l_{3}\cos \theta _{3}+\omega _{2}l_{2}\cos \theta _{2}}

Anàlisi d'acceleració

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode d'acceleració relativa les fórmules són:

Simuladors gratuïts

de 4 Barres[Enllaç no actiu] Gràfica la posició, velocitat i acceleració. (Només per a Windows)

Kima (R) v2.5 Suite de programes per a calcular la posició, velocitat i acceleració dels mecanismes: quatre barres, maneta corredissa i inversió tipus I de maneta corredissa. Funciona en mode interactiu i en mode paramètric, facilitant la interacció amb Matlab (R). Ús lliure per a fins acadèmics.

Vegeu també