Polinomis d'Hermite

Els polinomis d'Hermite són un exemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal àmbit d'aplicacions en mecànica quàntica, sobretot en l'estudi de l'oscil·lador harmònic unidimensional. Són nomenats així en honor de Charles Hermite.

Definició

Els polinomis d'Hermite:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

es defineixen com els polinomis d'Hermite probabilístics o, de vegades, com els polinomis d'Hermite físics:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

Aquestes dues definicions no són exactament equivalents, una és un reescalat trivial de l'altra:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!}$.

Els polinomis físics poden expressar-se com:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }$

Propietats

Ortogonalitat

${\displaystyle \displaystyle {H_{n}}}$és un polinomi de grau n, amb n = 0, 1, 2, 3,... Aquests polinomis són ortogonals respecte de la funció pes (mesura):

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$ (probabilista)

o

${\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}$ (física)

és a dir,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}$

${\displaystyle =n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (probabilista)

o

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (física)

on δ _ij és la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabilístics són ortogonals respecte de la funció de densitat de probabilitat normal.

Funció generadora

${\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)t^{n}}{n!}}}$

Fórmules de recurrència

Els polinomis d'Hermite (en la seva forma "física") satisfan les següents relacions de recurrència:

${\displaystyle h_{n+1}^{\mathrm {Phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {Phys} }(x)}$

${\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {Phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {Phys} }(x)}$

Descomposició en sèrie de funcions

Tota funció f contínua pot expressar-se com sèrie infinita en termes de polinomis d'Hermite:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }$

On les constants de l'anterior sèrie venen donades per:

${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}$

Altres resultats

${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}$

${\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}$

${\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {Phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}$

Equació diferencial d'Hermite

Els polinomis d'Hermite són solucions de l'equació diferencial d'Hermite:^[1]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}$

que en forma canònica es pot escriure com:

${\displaystyle {\frac {1}{y^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(y^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0}$

Referències

Bibliografia

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmules i taules de matemàtica aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7. 

Vegeu també

• Esquema d'Askey