Teorema de Banach-Steinhaus

En matemàtiques, en l'àrea d'anàlisi funcional, el teorema de Banach-Steinhaus o principi de la fita uniforme[1][2] és un dels resultats bàsics. El seu enunciat és el següent:

Siguin E {\displaystyle E} i F {\displaystyle F} dos espais de Banach. Sigui T ⊂ L ( E , F ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {L}}(E,F)} un subconjunt (no necessàriament numerable). Suposem que per a tot x ∈ T {\displaystyle x\in {\mathcal {T}}} es tingui que sup { ‖ T x ‖ F ; T ∈ T } < ∞ {\displaystyle \sup\{\|Tx\|_{F};T\in {\mathcal {T}}\}<\infty } . Aleshores, sup { ‖ T ‖ L ( E , F ) ; T ∈ T } < ∞ {\displaystyle \sup\{\|T\|_{{\mathcal {L}}(E,F)};T\in {\mathcal {T}}\}<\infty } .

La demostració es basa en el teorema de categories de Baire.

Referències

  1. ↑ Rudin, Walter. Functional Analysis (en anglès). New Delhi: Tata MacGraw-Hill, 1973. ISBN 978-0070542259. 
  2. ↑ Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130.