Argument hyperbolického kosekans

Graf funkce argument hyperbolického kosekans

Argument hyperbolického kosekans je hyperbolometrická funkce. Značí se arcsch ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arcsch} x} .

Definice

Argument hyperbolického kosekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí arcsch ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) = ln ⁡ ( 1 + 1 + x 2 x ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)} .

Vlastnosti

  • Definiční obor funkce
R ∖ { 0 } {\displaystyle {R}\backslash \{0\}}
  • Obor hodnot funkce
( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
  • Argument hyperbolického kosekans není sudá ani lichá funkce.
  • Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosekans je csch ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {csch} (x)} .
  • Derivace:
d d x arcsch x = − 1 x 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
  • Neurčitý integrál:
∫ arcsch ⁡ ( x ) d x = x arcsch ⁡ ( x ) + arcoth ⁡ 1 x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C} , kde C {\displaystyle C} je integrační konstanta.

lim x → 0 + arcsch x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {arcsch} \,x=\infty }

lim x → ∞ arcsch x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {arcsch} \,x=0}