Laminární proudění

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách – „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity.

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které je potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Uvažujme v trubici o poloměru ${\displaystyle r}$ malý válec kapaliny o poloměru ${\displaystyle x}$ a délce ${\displaystyle \Delta l}$. Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak ${\displaystyle p_{1}}$ a na výstupní průřez tlak ${\displaystyle p_{2}}$. Tlakový rozdíl na délce ${\displaystyle \Delta l}$ má hodnotu ${\displaystyle \Delta p=p_{1}-p_{2}}$. Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

${\displaystyle F=\pi x^{2}\Delta p}$

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

${\displaystyle F_{t}=2\pi x\Delta l\tau }$,

kde ${\displaystyle \tau }$ je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle F_{t}}$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

${\displaystyle \pi x^{2}\Delta p=-2\pi x\Delta l\eta {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}}$

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

${\displaystyle v=-{\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}x^{2}+k}$,

kde ${\displaystyle k}$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. ${\displaystyle v=0}$ pro ${\displaystyle x=r}$. Po dosazení úpravě dostaneme

${\displaystyle v={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} l}}(r^{2}-x^{2})}$

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti ${\displaystyle v}$ na ${\displaystyle x}$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok ${\displaystyle Q_{v}}$. Rychlost ${\displaystyle v}$ je v určité vzdálenosti ${\displaystyle x}$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti ${\displaystyle x}$ a šířce ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

${\displaystyle \mathrm {d} Q_{v}=2\pi xv\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}(r^{2}-x^{2})x\mathrm {d} x}$

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

${\displaystyle Q_{v}={\frac {\pi r^{4}}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}}$

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu ${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta l}}}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě ${\displaystyle \eta }$.

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

${\displaystyle v_{\mbox{max}}={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}}$

a nachází se na ose trubice (${\displaystyle x=0}$).

Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice (${\displaystyle S=\pi r^{2}}$), tzn.

${\displaystyle v_{s}={\frac {Q_{v}}{S}}={\frac {1}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}={\frac {1}{2}}v_{\mbox{max}}}$

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body ${\displaystyle A,B}$ na ose trubice ve vzdálenosti ${\displaystyle s}$ a dva body ${\displaystyle C,D}$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že ${\displaystyle D}$ se nachází na stejném řezu trubicí jako ${\displaystyle A}$ a bod ${\displaystyle C}$ se nachází na stejném řezu jako ${\displaystyle B}$. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body ${\displaystyle A,D}$ a ${\displaystyle B,C}$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

${\displaystyle \oint v\mathrm {d} s=\int _{A}^{B}v\mathrm {d} s=v_{\mbox{max}}s}$

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že ${\displaystyle \operatorname {rot} v}$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.

Tlakový spád ${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta l}}}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

${\displaystyle F\sim {\frac {\Delta p}{\Delta l}}\sim v_{s}}$

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.

Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

• Proudění
• Turbulentní proudění
• Reynoldsovo číslo

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu laminární proudění na Wikimedia Commons
• Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)