Paralelní přenos (geometrie)

Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).

Odvození

Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako λ {\textstyle \lambda } . V jednom z těchto bodů mějme vektor V ′ α {\textstyle V'^{\alpha }} (index α {\textstyle \alpha } označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme V ′ α {\textstyle V'^{\alpha }} přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky

d V ′ α d λ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V'^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}=0} .

Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme u {\textstyle u} . Z definice platí pro jeho složky

u β = d ξ β d λ {\displaystyle u^{\beta }={\frac {\mathrm {d} \xi ^{\beta }}{\mathrm {d} \lambda }}} ,

kde ξ β {\textstyle \xi ^{\beta }} značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne

d V α d λ = ∂ V α ∂ ξ β d ξ β d λ = V α , β u β = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {\partial V^{\alpha }}{\partial \xi ^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{\beta }}{\mathrm {d} \lambda }}={V^{\alpha }}_{,\beta }u^{\beta }=0}

(zde symbol , β {\textstyle {,\beta }} znamená derivaci podle souřadnice).

Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích x {\displaystyle x} , pak transformace vektoru V ′ ( ξ ) {\displaystyle V'(\xi )} na V ( x ) {\displaystyle V(x)} je dána vztahem

V ′ α = ∂ ξ α ∂ x μ V μ {\displaystyle V'^{\alpha }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}V^{\mu }}

Po dosazení do první rovnice dostaneme

d V ′ α d λ = d d λ ( ∂ ξ α ∂ x μ V μ ) = ∂ 2 ξ α ∂ x σ ∂ x μ d x σ d λ V μ + ∂ ξ α ∂ x μ d V μ d λ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V'^{\alpha }}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}V^{\mu }\right)={\frac {\partial ^{2}\xi ^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\mu }}}{\frac {\mathrm {d} x^{\sigma }}{\mathrm {d} \lambda }}V^{\mu }+{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0} .

Přeznačením indexů u prvního výrazu z μ {\textstyle \mu } na ν {\textstyle \nu } a vynásobením ∂ x μ ∂ ξ α {\displaystyle {\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \xi ^{\alpha }}}} přejde rovnice na

∂ x μ ∂ ξ α ∂ 2 ξ α ∂ x σ ∂ x ν d x σ d λ V ν + d V μ d λ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \xi ^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}\xi ^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\nu }}}{\frac {\mathrm {d} x^{\sigma }}{\mathrm {d} \lambda }}V^{\nu }+{\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0} ,

což lze také zapsat jako

d V μ d λ + Γ μ σ ν u σ V ν = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }V^{\nu }=0} ,

kde Γ μ σ ν {\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }} jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.

Rovnice geodetiky

Rovnici paralelního přenosu

d V μ d λ + Γ μ σ ν u σ V ν = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }V^{\nu }=0}

lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako

D V μ d λ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} V^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}=0} nebo V μ ; α = 0 {\displaystyle {V^{\mu }}_{;\alpha }=0} .

Pokud přenášíme rovnoběžný vektor

V μ = u μ = d x μ d λ {\displaystyle V^{\mu }=u^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}} ,

dostaneme rovnici geodetiky

D 2 x μ d λ 2 = d 2 x μ d λ 2 + Γ μ σ ν u σ u ν = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} ^{2}x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\sigma \nu }u^{\sigma }u^{\nu }=0} .

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu paralelní přenos na Wikimedia Commons