Výstřednost kuželosečky

Výstřednost neboli excentricita kuželosečky je nezáporné reálné číslo, které charakterizuje tvar dané kuželosečky. Používá se například v astronomii pro charakterizaci drah těles ve vesmíru jakožto excentricita dráhy. Existuje několik různých druhů excentricit. Nejčastěji se používá číselná výstřednost (excentricita),^[1] také zvaná první excentricita nebo numerická excentricita. Lze si ji představit jako míru toho, jak moc se kuželosečka liší od kružnice. Konkrétně:

• Číselná excentricita kružnice je nulová.
• Číselná excentricita elipsy, která není kružnicí, je větší než nula, ale menší než 1.
• Číselná excentricita paraboly je 1.
• Číselná excentricita hyperboly je větší než 1.

Dvě kuželosečky jsou podobné právě tehdy, pokud mají stejnou číselnou výstřednost. Definice číselné výstřednosti vychází z toho, že libovolnou kuželosečku vyjma kružnice lze definovat jako množinu (geometrické místo) bodů roviny, jejichž vzdálenosti k dané přímce (řídící přímce) a mimo tuto přímku ležícími bodu (ohnisku) jsou v konstantním poměru. A tento poměr se nazývá číselná výstřednost a běžně označuje jako e nebo ε.

Dále se používá lineární výstřednost či excentricita elipsy nebo hyperboly, označovaná jako c (někdy také f nebo e ). Ta se definuje jako vzdálenost mezi jejím středem a ohniskem. Tuto excentricitu lze definovat jako poměr lineární excentricity k hlavní poloose a : tj. ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$ (lineární excentricita pro paraboly není definována, jelikož nemají střed).

Kuželosečka	Rovnice	Číselná výstřednost ( e )	Lineární výstřednost ( c )
Kružnice	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
Elipsa	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ nebo ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$ kde ${\displaystyle a>b}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
Parabola	${\displaystyle x^{2}=4ay}$	${\displaystyle 1}$	-
Hyperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ nebo ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

U elipsy s délkou hlavní poloosy a a vedlejší poloosy b

Jestliže je kuželosečka zadána obecnou kvadratickou rovnicí

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

následující vzorec udává výstřednost e pokud kuželosečka není parabola (která má výstřednost rovnou 1), není degenerovaná hyperbola nebo degenerovaná elipsa a není imaginární elipsa:^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

kde ${\displaystyle \eta =1}$, pokud je determinant matice 3 × 3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

negativní a ${\displaystyle \eta =-1}$, pokud je tento determinant pozitivní.

Excentricita elipsy je ostře menší než 1. Pokud se kružnice (které mají výstřednost 0) počítají mezi elipsy, je výstřednost elipsy větší nebo rovna 0; pokud kružnice vyloučíme, pak je výstřednost elipsy ostře větší než 0.

Pro elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b dále definujeme další typy výstředností:

Název	Symbol	Závislost na a a b	Závislost na e
První výstřednost elipsy	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle e}$
Druhá výstřednost elipsy	${\displaystyle e'}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$
Třetí výstřednost elipsy	${\displaystyle e''={\sqrt {m}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}}$
Úhlová výstřednost elipsy	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle \sin ^{-1}e}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eccentricity (mathematics) na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu excentricita na Wikimedia Commons