Základní věta algebry

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry^[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.

Přesné znění

Nechť $P(x)=a_{n}\cdot x^{n}+\ldots +a_{0}$ je polynom s koeficienty $a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0$ stupně $\,n\geq 1$ . Pak existuje číslo $\,c\in \mathbb {C}$ , že $\,P(c)=0$ .

Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu $x^{5}-x-1$

{\displaystyle x^{5}-x-1} — Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu $x^{5}-x-1$

Důkazy

Ač název věty odkazuje na algebru, jedná se o historický název, kdy se pod algebrou rozumělo především řešení algebraických rovnic. I vzhledem k tomu, že obsahem tvrzení jsou komplexní čísla, která jsou spíše analytickým objektem, všechny důkazy v menší či větší míře využívají metody analytické matematiky.

Komplexně analytický důkaz

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:

Je-li f holomorfní omezená funkce na $\mathbb {C}$ , pak f je konstantní.

Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty aspoň prvního stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem $g(x)={\frac {1}{P(x)}}$ je definována na celém $\mathbb {C}$ . Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že $|P(x)|\geq 1$ pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje $\,\varepsilon >0$ , že $\,|P(x)|>\varepsilon$ pro x z K. Potom $|g(x)|<\max(1,{\frac {1}{\varepsilon }})$ pro každé $x\in \mathbb {C}$ . Tedy g(x) je omezená na $\mathbb {C}$ a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky

Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
Polynom s komplexními koeficienty stupně $n\geq 1$ má v komplexní rovině právě n kořenů (počítá-li se každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty a monických ireducibilních polynomů (v $\mathbb {R}$ ) stupňů jedna a dva.
Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.

Související články

Reference

↑ P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5

B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8

C. F. Gauss, “New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree”, 1799

C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13

H. Kneser, “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287–302, podívejte se také na: M. Kneser: “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285–287

E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9