Deltoidalhexakontaeder

Das Deltoidalhexakontaeder (auch Deltoidhexakontaeder genannt) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Deltoiden zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Rhombenikosidodekaeder und hat 62 Ecken sowie 120 Kanten.

Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 154°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei ${\displaystyle d}$ die Kantenlänge des Rhombenikosidodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch

${\displaystyle a=\,{\frac {d}{3}}\,{\sqrt {25-5{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle b=\,{\frac {d}{11}}\,{\sqrt {5\,(85-31{\sqrt {5}})}}}$

Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:^[1]

${\displaystyle 3a\,(7-{\sqrt {5}})=22b}$

• 
  Dualer Körper: Rhombenikosidodekaeder
• 
  Einbeschriebenes Dodekaeder
• 
  Einbeschriebenes Ikosaeder
• 
  Einbeschriebenes Ikosidodekaeder

Größen eines Deltoidalhexakontaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {45}{11}}\,a^{3}{\sqrt {\frac {370+164{\sqrt {5}}}{25}}}}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}={\frac {9}{11}}\,a^{2}{\sqrt {10\,(157+31{\sqrt {5}})}}}$
Inkugelradius	${\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {135+59{\sqrt {5}}}{205}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {3}{20}}\,a\,(5+3{\sqrt {5}})}$
Flächenwinkel  ≈ 154° 7′ 17″	${\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{41}}\,(19+8{\sqrt {5}})}$
3D-Kantenwinkel  ≈ 153° 26′ 6″	${\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}$
Sphärizität  ≈ 0,98161	${\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{11\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(157+31{\sqrt {5}}\right)}}}}$

Größen des Drachenvierecks
Flächeninhalt	${\displaystyle A={\frac {3}{22}}\,a^{2}{\sqrt {\frac {157+31{\sqrt {5}}}{10}}}}$
2. Seitenlänge	${\displaystyle b={\frac {3}{22}}\,a\,(7-{\sqrt {5}})}$
Kurze Diagonale	${\displaystyle e=3a\,{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}}$
Lange Diagonale	${\displaystyle f={\frac {a}{11}}{\sqrt {\frac {470+156{\sqrt {5}}}{5}}}}$
Inkreisradius	${\displaystyle r={\frac {3}{10}}\,a\,{\sqrt {\frac {5\,(17+5{\sqrt {5}})}{82}}}}$
Seitenwinkel (2)  ≈ 86° 58′ 27″	${\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {1}{10}}\,(5-2{\sqrt {5}})}$
Fußwinkel (1)  ≈ 67° 46′ 59″	${\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {1}{40}}\,(9{\sqrt {5}}-5)}$
Kopfwinkel (1)  ≈ 118° 16′ 7″	${\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {1}{20}}\,(5+2{\sqrt {5}})}$

1. ↑ Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.

Commons: Deltoidalhexakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Deltoidalhexakontaeder. In: MathWorld (englisch).