Die Differente ist ein Begriff aus der algebraischen Zahlentheorie.
Vorbereitung
Es sei
ein Zahlkörper und
die Spur. Dann ist
das duale Gitter von
in
bezüglich der nicht ausgearteten
-Bilinearform
mit
. Die duale Basis besitzt bezüglich der Basis
des Gitters
die Kronecker-Eigenschaft
. Weiterhin bezeichnet
das Inverse eines Ideals
.
Definition
Die Differente eines Zahlkörpers
ist definiert als
, wobei
der Ganzheitsring (die Hauptordnung
) des Zahlkörpers ist.
Erster Dedekindscher Hauptsatz
Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante
.
Beispiel
Für den Zahlkörper
ist der Ganzheitsring
die gaußischen Zahlen mit der
-Basis
. Das dazu duale Gitter besitzt die
-Basis
dessen gebrochenes Ideal sich zu
bestimmen lässt. Trivialerweise ist das inverse Ideal dazu
was ein Hauptideal ist, für das gilt
oder man kann die Restklassen zu
und
bestimmen. Dieses Ergebnis entspricht auch wie zu erwarten der Diskriminante des Zahlkörper
.
Literatur
- Armin Leutbecher: Zahlentheorie, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58791-0.