Mehrwertige Abhängigkeit

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Eine mehrwertige Abhängigkeit (englisch multivalued dependency (MVD)) ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributen ${\displaystyle \beta }$ von einer Menge aus Attributen ${\displaystyle \alpha }$.

Im Folgenden repräsentiere ${\displaystyle t[\alpha ]}$ alle Attribute (Spalten) ${\displaystyle \alpha }$ des Tupels (Zeile) ${\displaystyle t}$ dar. Eine mehrwertige Abhängigkeit ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ zwischen Attributen einer Relation ${\displaystyle R}$ liegt vor, wenn gilt:

Für zwei Tupel ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ mit ${\displaystyle t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]}$ existieren in jeder zulässigen Instanz von ${\displaystyle R}$ stets zwei weitere Tupel ${\displaystyle t_{3}}$ und ${\displaystyle t_{4}}$ mit:

${\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]=t_{3}[\alpha ]=t_{4}[\alpha ]\\t_{1}[\beta ]=t_{3}[\beta ]\\t_{2}[\beta ]=t_{4}[\beta ]\\t_{1}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_{4}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\\t_{2}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_{3}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\end{matrix}}}$

Anschaulich ergibt sich daraus:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Tupel}}&\alpha &\beta &R\setminus (\alpha \cup \beta )\\t_{1}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&d_{1}..d_{k}\\t_{2}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{3}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{4}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&d_{1}..d_{k}\end{matrix}}}$

Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls ${\displaystyle \beta \subseteq \alpha }$ oder ${\displaystyle \alpha \cup \beta =R}$.

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge ${\displaystyle D}$ bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten ${\displaystyle FD}$ und mehrwertigen Abhängigkeiten ${\displaystyle MVD}$. Ziel ist die Bestimmung der Hülle ${\displaystyle D^{+}}$. Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

1. Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
2. Wiederholung: Falls ${\displaystyle \alpha \rightarrow \beta }$, dann auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$
3. Komplement: Zu jedem ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ existiert auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow R\setminus \{\alpha \cup \beta \}}$
4. Mehrwertige Erweiterung: Gelte ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ und sei ${\displaystyle \gamma \subseteq R}$ sowie ${\displaystyle \delta \subseteq \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta }$
5. Mehrwertige Transitivität: Gilt ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ und ${\displaystyle \beta \twoheadrightarrow \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta }$
6. Verschmelzung: Gilt ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$, ${\displaystyle \gamma \subseteq \beta }$ und existiert ein ${\displaystyle \delta }$ mit ${\displaystyle \delta \subseteq R}$, ${\displaystyle \gamma \cap \delta =\varnothing }$ und ${\displaystyle \delta \rightarrow \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma }$

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

1. Mehrwertige Vereinigung: Wenn ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ und ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma }$
2. Durchschnitt: Wenn ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ und ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma }$
3. Differenz: Wenn ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta }$ und ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma }$, dann gilt auch ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \beta \setminus \gamma }$ bzw. ${\displaystyle \alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta }$