In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex
ein Tupel natürlicher Zahlen.
Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.
Konventionen der Multiindex-Schreibweise
In diesem Abschnitt seien
jeweils
-Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}=\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}=\ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}\leq \ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}\leq \ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\ell }}&:=&(k_{1}+\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}+\ell _{n})\\\\{\boldsymbol {k}}!&:=&k_{1}!\cdots k_{n}!\\\\{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}&:=&{\frac {{\boldsymbol {\alpha }}!}{({\boldsymbol {\alpha -k}})!\,{\boldsymbol {k}}!}}={\alpha _{1} \choose k_{1}}\cdots {\alpha _{n} \choose k_{n}}\\\\|{\boldsymbol {k}}|&:=&k_{1}+\cdots +k_{n}\\\\{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}&:=&x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\\\\{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {k}}&:=&D_{1}^{k_{1}}\cdots D_{n}^{k_{n}}\,,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674c2edeaa8274eaf0352319c2d9813ab1336821)
wobei
und
einen Differentialoperator bezeichnet.
Anwendungsbeispiele
Potenzreihe
Eine Mehrfachpotenzreihe
lässt sich kurz schreiben als
.
Potenzfunktion
Ist
und sind
, so gilt
und
.
Geometrische Reihe
Für
gilt
, wobei
ist.
Binomischer Lehrsatz
Sind
und ist
, so gilt
bzw.
.
Multinomialtheorem
Für
und
ist
bzw.
, was sich kurz schreiben lässt als
.
Leibniz-Regel
Ist
und sind
m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt
![{\displaystyle (fg)^{({\boldsymbol {m}})}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}f^{({\boldsymbol {k}})}g^{({\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c722cefcd83523e3765cefb32402c09068849b)
beziehungsweise
.
Diese Identität heißt Leibniz-Regel.
Und sind
m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist
,
wobei
ist.
Cauchy-Produkt
Für Mehrfachpotenzreihen
gilt
.
Sind
Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt
, wobei
ist.
Exponentialreihe
Für
gilt
.
Binomische Reihe
Sind
und sind alle Komponenten von
betragsmäßig
, so gilt
.
Vandermondesche Konvolution
Ist
und sind
, so gilt
.
Ist
und
, so gilt
.
In mehreren Veränderlichen
lässt sich die cauchysche Integralformel
![{\displaystyle {\frac {D^{\boldsymbol {k}}f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95823dcae144747c4eb99a73596bbcc3fc8c2dbe)
kurz schreiben als
,
wobei
sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung
, wobei
ist.
Taylor-Reihe
Ist
eine analytische Funktion oder
eine holomorphe Abbildung, so kann man
mit Hilfe eines Entwicklungspunktes
oder
in einer Taylorreihe
![{\displaystyle f({\boldsymbol {z}})=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {D^{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}}_{o})}{{\boldsymbol {k}}!}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}_{o})^{\boldsymbol {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26373f1131f320606892e2eedeed6785f261a1b1)
darstellen.
Hurwitz-Identität
Für
mit
und
gilt
.
Dies verallgemeinert die Abelsche Identität
.
Letztere erhält man im Fall
.
Literatur
- Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.