Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

Für eine (diskrete) Gruppe ${\displaystyle G}$ betrachtet man das inverse System ${\displaystyle \left\{G/\Gamma \right\}_{\Gamma }}$, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ über alle Normalteiler ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ von ${\displaystyle G}$ als den inversen Limes dieses Systems

${\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim G/\Gamma }$

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus ${\displaystyle i\colon G\to {\widehat {G}}}$ hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ in eine proendliche Gruppe ${\displaystyle H}$ gibt es einen stetigen Homomorphismus ${\displaystyle {\hat {f}}\colon {\widehat {G}}\to H}$ mit ${\displaystyle f={\hat {f}}\circ i}$.

• Wenn ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index ${\displaystyle H\subset {\widehat {G}}}$ offen und ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}={\widehat {G}}}$.^[1]
• Wenn ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\widehat {G}},H)=\mathrm {Hom} (G,H)}$.^[2]

• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ bezeichne ${\displaystyle Q(G)}$ die Menge aller endlichen Faktorgruppen von ${\displaystyle G}$. Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle {\widehat {G}}\simeq {\widehat {H}}\Longleftrightarrow Q(G)=Q(H)}$.^[3]

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \Pi _{p}\mathbb {Z} _{p}}$.

• Sei ${\displaystyle G=\pi _{1}X}$ die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät. Dann ist ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ isomorph zur algebraischen Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\widehat {G}}\cong \pi _{1}^{alg}(X)}$.

• Der natürliche Homomorphismus

${\displaystyle G\to {\widehat {G}}}$

ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle G}$ residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.

Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel: Profinite groups. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 40. Springer-Verlag, Berlin, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7

• Profinite completion of a group (nLab)

1. ↑ Ribes-Zalesskii, op.cit., Proposition 3.2.2
2. ↑ Nikolov, Nikolay; Segal, Dan: On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 1, 171–238.
3. ↑ Ribes-Zalesskii, op.cit., Corollary 3.2.8