Semimartingal

Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.

Gegeben sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {P} )}$ mit zugehöriger Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$.

Wir nehmen an, dass die Filtration

• vollständig ist, das heißt alle ${\displaystyle \mathbb {P} }$-Nullmengen sind ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$-messbar.
• ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ist rechtsstetig, das heißt ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\bigcap _{\varepsilon >0}{\mathcal {F}}_{t+\varepsilon }}$ für alle ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$.

Das Semimartingal besitzt durch den Satz von Bichteler-Dellacherie zwei äquivalente Definitionen.

Ein Prozess ${\displaystyle H}$ heißt einfach-vorhersehbar, falls ${\displaystyle H}$ von der Form

${\displaystyle H_{t}=H_{0}1_{\{0\}}(t)+\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}1_{(T_{i},T_{i+1}]}(t)}$

für eine endliche Folge von Stoppzeiten ${\displaystyle 0\leq T_{1}\leq \cdots \leq T_{n+1}<\infty }$ ist und für alle ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ fast sicher ${\displaystyle H_{i}\in {\mathcal {F}}_{T_{i}}}$ sowie ${\displaystyle |H_{i}|<\infty }$.

Der Raum der einfach-vorhersehbaren Prozesse zusammen mit der durch die gleichmässigen Konvergenz in ${\displaystyle (t,\omega )}$ induzierten Topologie bezeichnen wir als ${\displaystyle \mathbf {S} }$.

Für einen Prozess ${\displaystyle X}$ und für einen einfach-vorhersehbaren Prozess ${\displaystyle H}$ definieren wir die lineare Abbildung ${\displaystyle I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}}$ durch

${\displaystyle I_{X}(H)=H_{0}X_{0}+\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}}).}$

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X}$ heißt Semimartingal, falls für jedes ${\displaystyle T\in [0,\infty )}$ der gestoppte Prozess ${\displaystyle X^{T}:=(X_{t\wedge T})_{t\geq 0}}$ càdlàg und adaptiert ist und die Abbildung ${\displaystyle I_{X^{T}}}$ stetig ist.^[1]

Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X}$ mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit:

• ${\displaystyle X}$ ist an ${\displaystyle \mathbb {F} }$ adaptiert,
• die Pfade/Trajektorien von ${\displaystyle X}$ sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
• es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:
  ${\displaystyle X=X_{0}+M+A\,,\;}$
  wobei ${\displaystyle X_{0}}$ fast sicher endlich und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$-messbar, ${\displaystyle M}$ ein lokales Martingal und ${\displaystyle A}$ ein FV-Prozess ist, das heißt ein adaptierter Càdlàg-Prozess dessen Pfade fast sicher endliche Variation auf jedem kompakten Zeitintervall in ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ haben.

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form

${\displaystyle (H\cdot X)_{t}:=\int _{0}^{t}H_{s}dX_{s}}$

sinnvoll definiert werden kann. ${\displaystyle H}$ stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.

Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem „Wechsel der Zeit“ oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.

Die Menge aller Semimartingale bildet eine Algebra, d. h. insbesondere, dass mit ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auch ${\displaystyle \alpha X+\beta Y}$ bzw. ${\displaystyle XY}$ wieder Semimartingale sind.^[2]

Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.

Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

Jeder Lévy-Prozess ist bzgl. seiner kanonischen Filtration ein Semimartingal.

Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}\sigma _{s}{\rm {d}}W_{s},}$

wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess ${\displaystyle \sigma _{s}}$ bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

• Jean Jacod, Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. 2. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43932-3. 
• Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4. 

1. ↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 51–52. 
2. ↑ Michael Mürmann: Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastische Prozesse. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38160-7, S. 399.