Streuamplitude

Die Streuamplitude f {\displaystyle f} ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude f ( p p ) {\displaystyle f(p\to p')} ist über den S-Operator S {\displaystyle S} definiert:

p | S | p = δ ( 3 ) ( p p ) + i 2 π m δ ( E E ) f ( p p ) {\displaystyle \langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p')}

Dabei sind

  • | p {\displaystyle |p\rangle } der Anfangszustand und | p {\displaystyle |p'\rangle } der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
  • p , p {\displaystyle {\vec {p}},{\vec {p}}'} die Impulse der Zustände,
  • E , E {\displaystyle E,E'} die Energie der Zustände,
  • m {\displaystyle m} die Masse (Physik) der Zustände und
  • δ {\displaystyle \delta } die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels θ {\displaystyle \theta } zwischen p {\displaystyle {\vec {p}}} und p {\displaystyle {\vec {p}}'} geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

ψ o u t ( p ) = p | ψ o u t = p | S | ψ i n = d 3 p p | S | p p | ψ i n = d 3 p p | S | p ψ i n ( p ) = ψ i n ( p ) + i 2 π m d 3 p δ ( E E ) f ( p p ) ψ i n ( p ) = ψ i n ( p ) + i 2 π m f ( E , θ ) d 3 p δ ( E E ) ψ i n ( p ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}}}

Wenn für die eingehende Welle ψ i n {\displaystyle \psi _{\mathrm {in} }} eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

ψ o u t ( p ) = e i p z + f ( E , θ ) e i p r r {\displaystyle \psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}}}

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

d σ d Ω = | f ( ϑ ) | 2 . {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.}

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

σ t o t = 4 π d σ d Ω d Ω = 4 π k   I m f ( 0 ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)}

mit der Wellenzahl k {\displaystyle k} und dem Imaginärteil I m f ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {Im} \,f(0)} der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

f ( ϑ ) = = 0 ( 2 + 1 ) f ( k ) P ( cos ϑ ) {\displaystyle f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta )}

wobei

  • f ( k ) {\displaystyle f_{\ell }(k)} die partielle Streuamplitude
  • P ( cos ϑ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \vartheta )} das Legendre-Polynom
  • {\displaystyle \ell } der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element S = e 2 i δ {\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}} und die Streuphase δ {\displaystyle \delta _{\ell }} ausgedrückt werden:

f = S 1 2 i k = e 2 i δ 1 2 i k = e i δ sin δ k = 1 k cot δ i k . {\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude f {\displaystyle f_{\ell }} , das S-matrix Element S = e 2 i δ {\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}} und die Streuphase δ {\displaystyle \delta _{\ell }} implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses k {\displaystyle k} sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt p = k {\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} ).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

σ total = 4 π k 2 l = 0 ( 2 l + 1 ) sin 2 δ l . {\displaystyle \sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.}

Die Streulänge a {\displaystyle a_{\ell }} kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

f ( p ) p 0 a p 2 {\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }}

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge a 0 {\displaystyle a_{0}} der s-Wellen ( = 0 ) {\displaystyle (\ell =0)} als Streulänge bezeichnet.

Literatur

Siehe auch: Streutheorie