Die Streuamplitude
ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.
Definition
Die Streuamplitude
ist über den S-Operator
definiert:
![{\displaystyle \langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65611d77c354f1aa3037a2b117aec3c73d27793e)
Dabei sind
der Anfangszustand und
der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
die Impulse der Zustände,
die Energie der Zustände,
die Masse (Physik) der Zustände und
die Dirac-Distribution.
Alternativdefinition
Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels
zwischen
und
geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8533ecfaf13035eb6f3554750c2e4cc86f90e17f)
Wenn für die eingehende Welle
eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:
![{\displaystyle \psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996be4a1d27b134404adcfff29a2a7e865e4ee52)
Wirkungsquerschnitt
Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:
![{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79504a7fdd02c3d5dfac0f51f07fce627981804f)
Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:
![{\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7099bab05a2c8dd6e8a0d2db26fddf467b3244)
mit der Wellenzahl
und dem Imaginärteil
der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.
Partialwellenentwicklung
In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:
![{\displaystyle f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a39088aafd7eb9c7259b8647b218fd8a06ad4f9)
wobei
die partielle Streuamplitude
das Legendre-Polynom
der Index für den Drehimpuls ist.
Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element
und die Streuphase
ausgedrückt werden:
![{\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6ce205b186428ccf99e73c984e1232e9a8237b)
Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude
, das S-matrix Element
und die Streuphase
implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses
sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt
).
Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:
![{\displaystyle \sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2952b119a948dcc200d40dd453700b7867224c)
Die Streulänge
kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:
![{\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ba7695bb24d88fc5c9a5331bccea46c90ce944)
Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge
der s-Wellen
als Streulänge bezeichnet.
Literatur
Siehe auch: Streutheorie