3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera ${\displaystyle S^{3}\,}$. Otro más es el espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$. Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}\times S^{1}}$

${\displaystyle T\times S^{1}}$

${\displaystyle K\times S^{1}}$

O bien fibrados de la forma ${\displaystyle S^{1}\subset E\to \Sigma }$, donde ${\displaystyle \Sigma }$ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma ${\displaystyle F\subset E\to S^{1}}$, siendo ${\displaystyle F}$ una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

Ejemplos con frontera

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria ${\displaystyle D^{3}\,}$ o el toro sólido ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}}$, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

${\displaystyle I\subset E\to F}$ (fibrado I)

donde ${\displaystyle I}$ es un intervalo y ${\displaystyle F}$ una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, ${\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}}$, que es el fibrado ${\displaystyle I}$ que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva ${\displaystyle (2,1)\,}$ dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, ${\displaystyle \partial (K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O})}$, es un toro ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$. Además ${\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}}$ corresponde a ${\displaystyle M{\ddot {o}}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}}$.

Otro ejemplo es el producto cartesiano ${\displaystyle M{\ddot {o}}\times S^{1}}$ de la banda de Möbius con el círculo y el cual es ${\displaystyle T{\stackrel {\sim }{\times }}I}$ y es diferente a ${\displaystyle K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}}$.

También la frontera ${\displaystyle \partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})}$ es ${\displaystyle (\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}}$, lo cual, también es un toro ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$.

Algunas clases de 3-variedades

• Complementos de nudos y enlaces (knots and links)
• Fibrado de Seifert clásico fibrado de Seifert. Fibrado de Scott
• Espacios lentes (lens spaces)
• Fibrados por superficie (Surface Bundles) sobre el círculo
• Variedades de Haken
• Graph manifolds
• Esferas homológicas.

Resultados Fundamentales

• Teorema de Descomposición Prima[1]
• Teorema de Moise
• Descomposición de JSJ[2]
• Teoremas del Lazo y la Esfera[3] (que generalizan el Lema de Dehn).
• Teorema de Geometrización para variedades de Haken
• Teorema de Lickorish-Wallace

Problemas famosos

• Conjetura de Poincaré
• Geometrización de Thurston[4]
• Conjetura de la fibración virtual.
• Conjetura de ser virtualmente Haken.

Referencias

• J. Hempel. 3-manifolds. Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ. Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
• D. Rolfsen Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish Perish, Inc. 1976.
• A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds. En línea disponible en [5]