Derivada exterior

En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan.

Definición

La derivada exterior de una forma diferencial de grado ${\displaystyle k}$ es una forma diferencial de grado ${\displaystyle k+1}$. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

• ${\displaystyle {\text{d}}f}$ es el diferencial de ${\displaystyle f}$ para cualquier 0-forma ${\displaystyle f}$ (funciones de la clase C^∞).

• ${\displaystyle {\text{d}}^{2}=0\,}$, dicho de otro modo, que siempre: ${\displaystyle {\text{d}}({\text{d}}\omega )=0\,}$, para cualquier forma ${\displaystyle \omega \,}$.

• La regla del producto cuña:

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta )}$.

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, la derivada exterior de una 1-forma corresponde al rotacional y la derivada exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo del operador ${\displaystyle d\,}$ consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).

Véase también

• Derivada de Lie
• Formas diferenciales cerradas y exactas

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Exterior Derivative». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Exterior derivative en PlanetMath.