Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot

El método de Mandelbrot : este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado por Benoît Mandelbrot en la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada punto c del plano complejo, una sucesión de números complejos z_n. Partiendo del punto z₀ = 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmula z_n+1=F(z_n)+c, donde F es una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al punto c del plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al punto c un color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.

El fractal derivado por este método cuando se toma la función F(z)=z² se llama conjunto de Mandelbrot.

En lo que sigue, en lugar de z_n+1=F(z_n)+c se utilizará la notación Z=F(Z)+C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.

Z = Z^m + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m + C, según el método de Mandelbrot.

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + CConjunto de Mandelbrot
• 
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁵ + C
• 
  Z = Z⁶ + C
• 
  Z = Z⁷ + C
• 
  Z = Z⁸ + C
• 
  Z = Z⁹ + C
• 
  Z = Z¹⁰ + C
• 
  Z = Z¹¹ + C
• 
  Z = Z¹² + C
• 
  Z = Z¹² + C
  x 8
• 
  Z = Z²⁰ + C
• 
  Z = Z²⁰ + C
  x 10
• 
  Z = Z⁴⁸ + C
• 
  Z = Z⁴⁸ + C
  x 20
• 
  Z = Z⁹⁶ + C
• 
  Z = Z⁹⁶ + C
  x 40

Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos es L = m - 1

Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z² + C

A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando el microscopio de altísima resolución que nos proporciona el cálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.^[1]​

Ampliación zona 1

Centro de coordenadas : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686

• 
  x 1
• 
  x 732

Ampliación zona 2

Centro de coordenadas : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704

• 
  x 1
• 
  x 3855

Ampliación zona 3

Centro de coordenadas : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125

• 
  x 1
• 
  x 180

Ampliación zona 4

Centro de coordenadas : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !

• 
  x 1
• 
  x 2,369,369

Ampliación zona XX

Centro de coordenadas : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...

• 
  x 5,598

Z = Z^-m + C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.

• 
  Z = Z ^-2 + C
• 
  Z = Z ^-3 + C
• 
  Z = Z ^-4 + C
• 
  Z = Z ^-5 + C

Z = Z^p / (1 + Z^q) + C

• 
  Z = Z² / (1 + Z) + C
  
• 
  Z = Z³ / (1 + Z²) + C
  
• 
  Z = Z³ / (1 + Z) + C
  
• 
  Z = Z³ / (1 + Z + Z²) + C
  
• 
  Z = [(1 + Z) / Z²] + C
  

Z = Z^m + C^p

Pero, ¿ qué pasa cuando hacemos Z = Z^m + C^p ?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos es L = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + C²
  L = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z² + C³
  L = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  L = (2 - 1)* 6 = 6
• 
  Z = Z³ + C²
  L = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z³ + C³
  L = (3 - 1)* 3 = 6
• 
  Z = Z⁴ + C⁴
  L = (4 - 1)* 4 = 12

Z = Z^m + Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m + Z + C, según el método de Mandelbrot.

• 
  Z = Z² + Z + C
• 
  Z = Z³ + Z + C
• 
  Z = Z⁴ + Z + C
• 
  Z = Z⁹ + Z + C

Z = Z^m - Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m - Z + C, según el método de Mandelbrot.

• 
  Z = Z³ - Z + C
• 
  Z = Z⁴ - Z + C
• 
  Z = Z⁵ - Z + C
• 
  Z = Z⁹ - Z + C

Z = Z^m + 1 / C^p

También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuación Z = Z^m + F(C) . Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m + 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z.
Zo = (0,0i). El número de vértices es V = (m - 1)

• 
  Z = Z² + 1/C
• 
  Z = Z³ + 1/C
• 
  Z = Z⁴ + 1/C
• 
  Z = Z⁵ + 1/C
• 
  Z = Z⁶ + 1/C
• 
  Z = Z⁷ + 1/C

Pero, qué pasa cuándo Z = Z^m + (1 / C²) ?. Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices es V = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + 1 / C²
  V = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z³ + 1 / C²
  V = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C²
  V = (4 - 1)* 2 = 6
• 
  Z = Z⁵ + 1 / C²
  V = (5 - 1)* 2 = 8
• 
  Z = Z⁶ + 1 / C²
  V = (6 - 1)* 2 = 10
• 
  Z = Z⁷ + 1 / C²
  V = (7 - 1)* 2 = 12

• 
  Z = Z² + 1 / C³
  V = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z² + 1 / (C³+1)
  V = (2 - 1)* 3 = 3

Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Z^m + C i Z = Z^m + 1/C

La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.

• 
  Z = Z² + 1 / C
  Z = Z² + C
• 
  Z = Z² + 1 / C
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z³ + 1 / C
  Z = Z² + C
• 
  Z = Z³ + 1 / C
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁴ + 1 / C
  Z = Z³ + C

Z = ( Z^m / C^m ) + C

• 
  Z = (Z⁴ / C⁴) + C
• 
  Z = (Z⁸ / C⁸) + C

Z = Z^m + C + C^p + 1/ C + 1/ C^q

También podemos añadir más sumandos a la función Z^m, combinando C, C^p, 1/C y 1/C^q en grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos C², 1/C y 1/C² de 2,3 o 4 formas ..:

• 
  Z = Z² + C + C²
  
• 
  Z = Z² + C + 1/C
  
• 
  Z = Z² + C + 1/C²
  
• 
  Z = Z² + C²+ 1/C
• 
  Z = Z² + C² + 1/C²
  
• 
  Z = Z² + 1/C + 1/ C²
  

• 
  Z = Z² + C + C² + 1/C
• 
  Z = Z² + C + C² + 1/C²
• 
  Z = Z² + C + 1/C + 1/C²
• 
  Z = Z² + C² + 1/C + 1/C²
• 
  Z = Z² + C + C² + 1/C + 1/C²

A continuación más combinaciones con otros exponentes:

• 
  Z = Z² + C + 1/ C³

Z = Z^m + polinomios de C

Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a Z^m , veamos qué sucede:

• 
  Z=Z² + C /(C²+1) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² /(C⁴ + 0.1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ - 0.25)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función: Z=Z² + 1 /(C^m-1)

• 
  Z=Z² + 1 /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1 /(C³-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1 /(C⁴-1)
  Zo = (0,0i)

Z = Z^m + polinomios mixtos de C i Z

Podemos sumar a Z^m polinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:

Z = Z² + C/ (Z² + k)

• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.001)
  Zo = (0,0i) x 1000
• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² + C / (Z²- 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² + C / (Z²+ 0.001)
  Zo = (0,0i) x 24,900

Z = Z^m + C^p/Z^q + C

• 
  Z=Z² + (C² /Z²) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
• 
  Z=Z² + (C⁴ /Z²) + C
  Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
• 
  Z=Z² + (C⁴ /Z⁴) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
• 
  Z=Z² + (C⁶ /Z⁶) + C
  Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
• 
  Z=Z⁴ + (C² /Z⁴) + C
  Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

Z= [(Z^m+C-1) / (m*Z^m-1+C- m)]²

• 
  Z= [(Z²+C-1) / (2*Z+C-2)]²
  Zo = (0,0i) MAGNET
• 
  Z= [(Z²+C²-1) / (2*Z+C² -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z²+C³-1) / (2*Z+C³ -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z³+C-1) / (3*Z²+C-3)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z⁴+C-1) / (4*Z³+C-4)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]²

• 
  Z= [(Z + C -1) / C]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C²-1) / C²]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³-1) / C³]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴-1) / C⁴]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵-1) / C⁵]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]³

• 
  Z= [(Z + C-1) / C]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C²-1) / C²]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³-1) / C³]³
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m+1) / (C^m - 1)]²

• 
  Z= [(Z + C +1) / (C -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C² +1) / (C² -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³ +1) / (C³ -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴ +1) / (C⁴ -1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵ +1) / (C⁵ -1)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / (C^m + 1)]²

• 
  Z= [(Z + C -1) / (C +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C² -1) / (C² +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C³ -1) / (C³ +1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁴ -1) / (C⁴ +1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z + C⁵ -1) / (C⁵ +1)]²
  Zo = (0,0i)

Otras combinaciones de Z y C

• 
  Z=Z² + C² /(Z²+C) + C
  Zo = (0,0i)

Más funciones de variable compleja

Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de los números complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.
Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:

Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y) , Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2) i]

Z = Z^m + F(C)

A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración de Z², pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:

• 
  Z=Z² + Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + 1/CosH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Tan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CoTan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + TanH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CoTanH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Sin(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + SinH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² + Sin(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + SinH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + Cos(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + CosH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z= Z² + ATan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z² + Sqr(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z³ + Sqr(C)
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de Exp(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = Exp(Z)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z * Exp(Z)+ C
  Zo = (0,0i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² + Exp(C)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Exp(C³/Z³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z = Exp[(Z² + k * Z) / F(C^m)]

Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:

• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = 1
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = 0.0
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ LN(C⁹)]
  Zo = (1,1i) k = 3.0

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Exp(Z /C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁴)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁵)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁶)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m) + C ^p

• 
  Z = Exp(Z /C⁶) + C ³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) + C ⁴
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) + C ²
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n^p / C ^p)

• 
  Z = Exp(Z³/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z⁴/C⁴)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^q * Exp(Z_n / C ^p) + C

• 
  Z = Z² * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵ * Exp(Z/C)+ C
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp[ Z_n² / (C ^m + C ^p) ]

Aparece un número de lóbulos centrales = m, y un número de aristas exteriores = p, siendo m<p.

• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁵ + C )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁶ + C³ )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁸ + C⁴ )]
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^m * Exp[ Cos(Z_n)] + 1/C

Aparecen un número de aristas = m.

• 
  Z = Z²* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractales per iteración de Sin(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:

Como función iterativa

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z²+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵+Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁶+Sin(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z = Z²+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴+Sin(C²)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Sin(CosH(Z)*C³)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Sin(Z*C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C¹⁰)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z^0.5*C³)
  Zo = (1,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Sin(Z/C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C¹⁰)
  Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de Cos(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente

Como función iterativa

• 
  Z = Cos(Z)+ 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z)+ LN(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z³)+ 1/C
  Zo = (0.2,0.3i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² + Cos( C)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Cos(Z) + Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(C/Z)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Cos(Z*C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C³)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n/C ^m)

• 
  Z = Cos(Z/C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C⁴)
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de SinH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.91, -0.08i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.90, -0.05i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C²
  Zo = (1, 0.1i)
• 
  Z = SinH(Z²) + 1/C
  Zo = (1, -1i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² + SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z² + SinH(1/ C³)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = SinH(Z / C )
  Zo = (0,1i)
• 
  Z = SinH(Z)/ C
  Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de CosH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = CosH(Z) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z²) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z³) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁴) + 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁵) + 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de combinaciones de diferentes funciones de Z

• 
  Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH[Exp(Z²)]+ C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z/C⁵)+ Ln(Z) + Z
  Zo = (0,0i)

Más fractales según el método de Mandelbrot

Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia.
Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)

• 
• 

Referencias