Desigualdad de Shapiro

En matemáticas, la desigualdad de Shapiro es una desigualdad que fue descubierta por H. Shapiro y Vladímir Drínfeld.

Enunciado

Sea n un número natural y $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ números positivos y:

n es par y menor o igual que 12, o bien

n es impar y menor o igual que 23.

Entonces, la desigualdad de Shapiro enuncia que

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}$

donde $x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}$ .

Para valores mayores de n no se cumple la desigualdad y la cota inferior estricta es $\gamma {\frac {n}{2}}$ con $\gamma \approx 0.9891...$ .

Este resultado fue mostrado por Vladímir Drínfeld, que ganó una Medalla Fields en 1990. Drínfeld demostró específicamente que la cota inferior estricta γ viene dada por ${\frac {1}{2}}\psi (0)$ , donde ψ es la envoltura convexa de f(x) = e^−x y $g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}$