Grupoide de Lie

Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición

• Un grupoide de Lie es un ${\displaystyle G}$ grupoide con base ${\displaystyle M}$ tal que
  • ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle M}$ son variedades diferenciales.
  • ${\displaystyle s,t:G\to M}$, las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
  • ${\displaystyle 1:M\to G}$, la aplicación unidad, es diferenciable.
  • La multiplicación ${\displaystyle G*G\to G}$ es diferenciable.

Observar que si denotamos ${\displaystyle \Delta _{M}}$ la diagonal de ${\displaystyle M}$, entonces ${\displaystyle G*G=(s\times t)^{-1}(\Delta _{M})}$. Como ${\displaystyle s\times t}$ es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que ${\displaystyle G*G}$ es una subvariedad incrustada y cerrada de ${\displaystyle G\times G}$ y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos

• Sea ${\displaystyle (E,q,M)}$ un fibrado vectorial y ${\displaystyle \Phi (E):=\{\xi :E_{x}\to E_{y}/x,y\in M,\xi }$ es lineal ${\displaystyle \}}$, es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si ${\displaystyle \xi :E_{x}\to E_{y}\in \Phi }$, definimos ${\displaystyle s(\xi )=x}$, el origen de ${\displaystyle \xi }$ y ${\displaystyle t(\xi )=y}$, el destino de ${\displaystyle \xi }$. Claramente ${\displaystyle s,t:\Phi \to M.}$ Si ${\displaystyle \xi ,\eta \in \Phi (E)}$, la composición ${\displaystyle \eta \xi }$ sólo tiene sentido si ${\displaystyle t(\xi )=s(\eta )}$. Si se define ${\displaystyle \Phi (E)*\Phi (E):=\{(\eta ,\xi )\in \Phi (E)\times \Phi (E):t(\xi )=s(\eta )\}}$ Entonces existe un producto ${\displaystyle \Phi (E)*\Phi (E)\to \Phi (E)}$ definido como arriba. De esta forma ${\displaystyle \Phi (E)}$ es un grupoide con base ${\displaystyle M}$, donde ${\displaystyle s,\,t}$ son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.

• Sea ${\displaystyle M}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle G}$ un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ es un grupoide de Lie.