Hexágono

Hexágono
Un hexágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	6
Vértices	6
Grupo de simetría	${\displaystyle D_{6}}$, orden 2x6
Símbolo de Schläfli	{6}, t{3} (hexágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}}$ (radio ${\displaystyle R}$)
Ángulo interior	120°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
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En geometría plana elemental, un hexágono^[1]​^[2]​ o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en la RAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades

Un hexágono tiene:

• 6 vértices y lados.
• 9 diagonales.
• La suma de los ángulos internos de un hexágono es 720 grados o ${\displaystyle 4\pi }$ radianes.

Parhexágono

Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.^[3]​

Proposición

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.^[4]​

Hexágono regular

Animación paso a paso de la construcción de un hexágono regular con regla y compás, según la obra de Euclides Elementos, Libro IV, Proposición 15: esto es posible porque 6 ${\displaystyle =}$ 2 × 3, producto de una potencia de dos y números de Fermat distintos.

Cuando se da la longitud lateral AB, al trazar un arco de círculo desde el punto A y el punto B se obtiene la intersección M, el centro de la circunferencia circunscrita. Trasladar el segmento de recta AB four times on the circumscribed circle and connect the corner points.

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

• Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° o ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ rad. Resultado de ${\displaystyle A_{i}={\frac {180(6-2)}{6}}}$
• Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° o ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ rad.
• Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
  • Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
  • Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
• Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
• Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación ${\displaystyle z^{6}-1=0}$ están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).^[5]​

• Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia.Atendiendo a la figura, ${\displaystyle r_{i}}$ sería el radio del círculo inscrito, ${\displaystyle r_{u}}$ el radio del círculo circunscrito y ${\displaystyle a}$ la longitud de un lado. Caben las igualdades:^[6]​

${\displaystyle a=r_{u}}$, la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.

${\displaystyle r_{i}=\cos(30^{\circ })r_{u}}$ , de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:

${\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r_{u}}$ y podemos concluir que

${\displaystyle a={\frac {2r_{i}}{\sqrt {3}}}}$

Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado ${\displaystyle r_{u}=a=1}$ , el radio de la inscrita sería aproximadamente ${\displaystyle r_{i}\approx 0.866}$

• Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.^[7]​

Perímetro

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

${\displaystyle P=n\cdot l_{n}=6\ l_{6}}$, donde n es el número de lados y ${\displaystyle l_{n}}$, la longitud del lado.

El perímetro en función de la apotema (${\displaystyle a_{p}}$) es^[8]​

${\displaystyle P=4\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {3}}}$

Y en función del radio del círculo circunscrito (${\displaystyle r_{u}}$) es^[8]​

${\displaystyle P=6\cdot r_{u}}$

Área

Área del hexágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a₆ del polígono, una alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {6l_{6}\cdot a_{p}}{2}}=3l_{6}\cdot a_{p}}$

o

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}\cdot a_{p}^{2}}$

Si solo conocemos el lado l₆ podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

${\displaystyle A=l_{6}^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

Punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio ${\displaystyle R}$, cuyas distancias al centroide del hexágono regular y a sus seis vértices son ${\displaystyle L}$ y ${\displaystyle d_{i}}$ respectivamente, tenemos^[9]​

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

Si ${\displaystyle d_{i}}$ son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces^[9]​

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Simetría

Ejemplo de hexágonos por simetría
r12 regular i4 d6 isotoxal g6 directed p6 isogonal d2 g2 general paralelogon p2 g3 a1

El hexágono regular tiene simetría D₆. Hay 16 subgrupos. Hay 8 hasta isomorfismo: sí mismo (D₆), 2 diédricos: (D_3, D₂), 4 cíclico: (Z₆, Z₃, Z₂, Z₁) y el trivial (e).

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo.^[10]​ r12 es simetría completa, y a1 no es simetría. p6', un isogonal hexágono construido por tres espejos pueden alternar aristas largas y cortas, y d6', un isotoxal hexágono construido con longitudes de arista iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo elongado, mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente. Los hexágonos g2, con lados opuestos paralelos, también se denominan paralelógonos hexagonales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad pero puede verse como arista dirigidas.

Los hexágonos de simetría g2, i4, y r12, como paralelógonos pueden teselar el plano euclídeo por traslación. Otros hexágonos pueden teselar el plano con diferentes orientaciones.

p6m (*632)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p31m (3*3)	pmg (22*)		pg (××)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1
Dih6	Dih2	Z2	Dih1			Z1

Grupos A2 y G2

A2 group roots

G2 group roots

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2, representadas por un Diagrama de Dynkin Archivo:Dyn-nodo n1.pngArchivo:Dyn-nodo n2.png, están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin también tienen forma hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.

Disección

6-cube projection	disección de 12 rombos

Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en ¹⁄₂m(m - 1) paralelogramos.^[11]​ En particular, esto es cierto para polígono regulars con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo, con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogramos y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de Cuboides rectangulares.

Disección de hexágonos en tres rombos y paralelogramos
2D	Rombos	Paralelogramos
	Regular {6}	Hexagonal paralelógonos
3D	Caras cuadradas		Caras rectangulares
	Cubo		Cuboide rectangular

Galería de hexágonos naturales y artificiales

• 
  La Francia continental o parte metropolitana de Francia recibe el sobrenombre de Hexágono (l'Hexagone en francés), por tener una forma vagamente hexagonal.
• 
  Los escudos del caparazón de una tortuga están conformados por hexágonos.
• 
  En el polo norte de Saturno se encuentra un patrón de nubes formando un hexágono.
• 
  El ajedrez hexagonal de Władysław Gliński.
• 
  Los pabellones de estilo chino en los jardines botánicos tienen una estructura hexagonal.
• 
  El hexágono es un teatro de arquitectura de tipo hexagonal ubicada en Reading, Reino Unido.
• 
  Un granero hexagonal.
• 
  Vista aérea del Parque nacional Tortugas Secas.
• 
  Ventana hexagonal de una casa.
• 
  Una imagen de burbujas ordenadas la una a la otra da la ilusión de ver hexágonos.
• 
  La hanksita, de uno de los muchos minerales del sistema cristalino hexagonal
• 
  Los panales están construidos con formas hexagonales.
• 
  Columnas de basalto formadas naturalmente de la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte; las masas grandes deben enfriarse lentamente para formar un patrón de fractura poligonal.
• 
  La micrografía de un copo de nieve.
• 
  La estructura cristalina del Grafeno está formada por una rejilla de hexágonos.
• 
  El benceno, es un compuesto aromático con forma hexagonal.
• 
  Estructura cristalina de un hexágono molecular compuesto por anillos aromáticos hexagonales.
• 
  Segmentos de espejo E-ELT ensamblados.
• 
  El espejo del telescopio espacial James Webb, está compuesto por 18 segmentos hexagonales.

Véase también

Referencias

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre hexágonos.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre hexágono.
• Definition and properties of a hexagon with interactive animation and construction with compass and straightedge.
• An Introduction to Hexagonal Geometry on Hexnet a website devoted to hexagon mathematics.
• Hexagons are the Bestagons en YouTube. – an animated internet video about hexagons by CGP Grey.