Integral de línea

En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.

La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.

Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
• El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Integral de línea de un campo escalar

Definición

Sea ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$, si ${\displaystyle f:C\rightarrow \mathbb {R} }$ es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle C}$ (también llamada integral de trayectoria), está definida como

${\displaystyle \int _{C}f\;ds=\int _{a}^{b}{f(\mathbf {r} (t))}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt}$

La función ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de ${\displaystyle C}$ donde ${\displaystyle \mathbf {r} (a)}$ y ${\displaystyle \mathbf {r} (b)}$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando ${\displaystyle f=1}$, entonces obtenemos la longitud de la curva ${\displaystyle C}$, esto es

${\displaystyle L(C)=\int _{C}ds=\int _{a}^{b}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt}$

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de ${\displaystyle C}$ porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de ${\displaystyle C}$, esto es, si ${\displaystyle C}$ es una curva simple orientada y ${\displaystyle -C}$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

${\displaystyle \int _{C}f\;ds=\int _{-C}f\;ds}$

Interpretación

Geométricamente, cuando el campo escalar ${\displaystyle f}$ está definida sobre el plano ${\displaystyle (n=2)}$, su gráfica es una superficie ${\displaystyle z=f(x,y)}$ en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de ${\displaystyle C}$ y la gráfica de ${\displaystyle f}$.

Deducción

Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann ${\displaystyle S_{N}}$.

Comencemos subdividiendo el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ por medio de la partición

${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=b}$

lo anterior conduce a una descomposición de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ en trayectorias ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ definidas en el intervalo ${\displaystyle [t_{i},t_{i+1}]}$ para ${\displaystyle i=0,1,\dots ,N-1}$, si denotamos la longitud de arco de ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ por ${\displaystyle \Delta s_{i}}$ entonces

${\displaystyle \Delta s_{i}=\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}||\mathbf {r} '(t)||dt}$

Cuando ${\displaystyle N\to \infty }$, es decir, ${\displaystyle N}$ es grande, la longitud de arco ${\displaystyle \Delta s_{i}}$ es pequeña y ${\displaystyle f}$ es aproximadamente constante para puntos en ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$. Consideremos las sumas

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\Delta s_{i}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ está definida para ${\displaystyle t\in [t_{i},t_{i+1}]}$.

Por el teorema del valor medio, ${\displaystyle \Delta s_{i}=||\mathbf {r} '(\varphi _{i})||\Delta t_{i}}$ donde ${\displaystyle t_{i}\leq \varphi _{i}\leq t_{i+1}}$ y ${\displaystyle \Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}}$. A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=0}^{N-1}f\left(\mathbf {r} (t)\right)||\mathbf {r} '(\varphi _{i})||\Delta t_{i}\\&=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))||\mathbf {r} '(t)||dt\\&=\int _{C}fds\end{aligned}}}$

Ejemplo 1

Se desea evaluar la integral de línea

${\displaystyle \int _{C}(x^{2}+y^{2}+z^{2})ds}$

sobre la hélice ${\displaystyle \mathbf {r} :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\operatorname {sen} t,t)}$.

En primer lugar notemos que

${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(-\operatorname {sen} t,\cos t,1)}$

por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}||\mathbf {r} '(t)||&={\sqrt {(-\operatorname {sen} t)^{2}+\cos ^{2}t+1^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {sen} ^{2}t+\cos ^{2}t+1}}\\&={\sqrt {2}}\end{aligned}}}$

Y como

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} (t))&=\cos ^{2}t+\operatorname {sen} ^{2}t+t^{2}\\&=1+t^{2}\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(x^{2}+y^{2}+z^{2})ds&=\int _{0}^{2\pi }(1+t^{2}){\sqrt {2}}dt\\&={\sqrt {2}}\left(t+{\frac {t^{3}}{3}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }\\&={\frac {2{\sqrt {2}}\pi (3+4\pi ^{2})}{3}}\end{aligned}}}$

Ejemplo 2

Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio ${\displaystyle r}$ es ${\displaystyle 2\pi r}$, es decir, buscamos hallar

${\displaystyle \oint _{C}ds}$

siendo ${\displaystyle C}$ la longitud de una circunferencia de radio ${\displaystyle r}$.

Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio ${\displaystyle r}$ centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(r\cos t,r\operatorname {sen} t)\qquad 0\leq t\leq 2\pi }$

Dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} '(t)&=(-r\operatorname {sen} t,r\cos t)\\||\mathbf {r} '(t)||&={\sqrt {r^{2}\operatorname {sen} ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\\&={\sqrt {r^{2}\left(\operatorname {sen} ^{2}t+\cos ^{2}t\right)}}\\&=r\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}L(C)&=\oint _{C}ds\\&=\int _{0}^{2\pi }rdt\\&=2\pi r\end{aligned}}}$

Integral de línea de un campo vectorial

Definición

Sean ${\displaystyle \mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ un campo vectorial continuo en una región ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle C\subset U}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$, la integral de línea del campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sobre ${\displaystyle C}$ en la dirección de ${\displaystyle \mathbf {r} }$, está definida como

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

donde ${\displaystyle \cdot }$ es el producto escalar y la función ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de ${\displaystyle C}$ donde ${\displaystyle r(a)}$ y ${\displaystyle r(b)}$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de ${\displaystyle C}$, no son independientes de la orientación de ${\displaystyle C}$, para este tipo de integrales, si ${\displaystyle C}$ es una curva simple orientada y ${\displaystyle -C}$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{-C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

Relación con las integrales de línea de campos escalares

Para trayectorias ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ que satisfagan ${\displaystyle \mathbf {r'} (t)\neq \mathbf {0} ,\;\forall \;t\in [a,b]}$ si

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}}$

denota un vector tangente unitario a ${\displaystyle C}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {r'} (t)\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot {\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {T} (t)\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds\\&=\int _{C}f\;ds\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle f=\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} }$, por lo tanto

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds}$

Forma diferencial

Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ de la forma ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=\left(M,N\right)}$ y ${\displaystyle C}$ es una curva parametrizada por ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right),\;a\leq t\leq b}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{C}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\;dt\\&=\int _{a}^{b}(M,N)\cdot \left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{a}^{b}\left(M\;{\frac {dx}{dt}}+N\;{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{C}M\;dx+N\;dy\end{aligned}}}$

Decimos que la expresión ${\displaystyle M\;dx+N\;dy}$ es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Integrales de línea sobre curvas cerradas

Si ${\displaystyle C}$ es una curva cerrada simple entonces es común la notación

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

y para la forma diferencial

${\displaystyle \oint _{C}M\;dx+N\;dy}$

Teorema fundamental de las integrales de línea

Campo vectorial conservativo

Sea ${\displaystyle \mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ una función continua en la región ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, decimos que ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo en ${\displaystyle U}$ si existe ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$, en este caso decimos que ${\displaystyle f}$ es un campo potencial de ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

Teorema

Si ${\displaystyle \mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ es un campo vectorial conservativo en ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle C\subset U}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ entonces

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {r} (b))-f(\mathbf {r} (a))}$

En particular, si ${\displaystyle C}$ es una curva orientada cerrada y simple

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\oint _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =0}$

Lo anterior dice que cuando ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización ${\displaystyle \mathbf {r} }$. En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo.

Integrales de línea en el plano complejo

En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ es una región abierta en el plano complejo, ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ es una función y ${\displaystyle L\subset U}$ es una curva de longitud finita parametrizada por

${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow L}$

donde

${\displaystyle \gamma (t)=x(t)+iy(t)}$

Si la parametrización ${\displaystyle \gamma }$ es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:

${\displaystyle \int _{L}f(z)dz=\int _{a}^{b}f\left(\gamma (t)\right)\gamma '(t)dt}$

Cuando ${\displaystyle f}$ es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

Véase también

• Ecuación paramétrica
• Teorema del gradiente
• Integral de superficie
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes
• Teorema de Gauss

Referencias

Enlaces externos

• Integral de línea de un campo vectorial (inglés) - Interactivo - Explicaciones Gráficas