Leyes de Faxén

En fluidodinámica, las leyes de Faxén relacionan la velocidad de una esfera con una velocidad angular, con las fuerzas, el par, la tensión y el flujo que experimenta en condiciones de bajo número de Reynolds o flujo de arrastre.

Primera ley

La primera ley de Faxen fue introducida en 1922 por el físico sueco Hilding Faxén, que en ese momento estaba activo en la Universidad de Uppsala, y está dada por la siguiente ecuación:^[1]​^[2]​

${\displaystyle \mathbf {F} =6\pi \mu \ a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right]}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathbf {F} }$	Fuerza que ejerce el fluido sobre la esfera
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad newtoniana del medio en el que se coloca la esfera
${\displaystyle a}$	Radio de la esfera
${\displaystyle \mathbf {U} }$	Velocidad de traslación de la esfera
${\displaystyle \mathbf {u} '}$	Velocidad de perturbación causada por las otras esferas en suspensión, no por el flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera
${\displaystyle \mathbf {u} ^{\infty }}$	Flujo de fondo evaluado en el centro de la esfera establecido como cero en algunas referencias

También se puede escribir la fórmula anterior de la siguiente forma:

${\displaystyle \mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} '}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle b_{0}}$	Movilidad	${\displaystyle b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}}$

En el caso de que el gradiente de presión sea pequeño en comparación con la escala de longitud del diámetro de la esfera, y cuando no hay una fuerza externa, los dos últimos términos de esta forma pueden ser despreciables. En este caso, el flujo de fluido externo simplemente no afecta a la esfera.

Segunda ley

La segunda ley de Faxén está dada por la siguiente ecuación:^[1]​^[2]​

${\displaystyle \mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathbf {T} }$	Par que ejerce el fluido sobre la esfera
${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$	Velocidad angular de la esfera
${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$	Velocidad angular del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera que puede suponerse nula en algunas interpretaciones

Tercera ley

Batchelor y Green^[3]​ derivaron una ecuación para el elemento estresante, dada por:^[1]​^[2]​

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}}$	Tensión (parte simétrica del primer momento de fuerza) ejercida por el fluido en la esfera
${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '}$	Tensor del gradiente de velocidad
${\displaystyle \mathrm {T} }$	Transposición
	Velocidad de deformación, o deformación, tensor	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }}$	Velocidad de deformación del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera, supuesta cero en algunos casos	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]}$

Debe tenerse en cuenta que no hay una tasa de tensión en la esfera (no ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}}$) ya que se asume que las esferas son rígidas.

La ley de Faxén es una corrección a la ley de Stokes para la fricción en objetos esféricos en un fluido viscoso, válido cuando el objeto se mueve cerca de una pared del contenedor.^[4]​

Véase también

• Método del límite de inmersión

Referencias

Bibliografía

• Faxén, H. (1922), «Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist», Annalen der Physik 373 (10): 89-119, Bibcode:1922AnP...373...89F, doi:10.1002/andp.19223731003 .
• Happel, J.; Brenner, H. (1991), Low Reynolds Number Hydrodynamics, Dordrecht: Kluwer .