Teorema de Chasles

El teorema de Chasles es una proposición de geodesia física. Considerando una función ${\displaystyle v}$ armónica fuera de una superficie ${\displaystyle \Sigma }$ y suponiendo además que ${\displaystyle \Sigma }$ es una "superficie equipotencial", entonces en esta superficie ${\displaystyle \Sigma }$ se tiene que ${\displaystyle v=v_{o}}$, siendo la cantidad ${\displaystyle v_{o}}$ una constante arbitraria. Para un punto ${\displaystyle P}$ fuera de ${\displaystyle \Sigma }$, la representación integral de una función armónica permite escribir

${\displaystyle v(P)=-{\frac {1}{4\pi }}\iint _{\Sigma }r^{-1}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} \sigma +{\frac {v_{o}}{4\pi }}\iint _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} r^{-1}}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} \sigma }$,

con ${\displaystyle r}$ que indica la distancia desde ${\displaystyle P}$ a cualquier punto en ${\displaystyle \Sigma }$. Ahora, de acuerdo con el teorema de Gauss-Bonnet para un punto externo, la segunda integral del miembro derecho se desvanece, por lo que resulta que

Esta fórmula se debe a Michel Chasles (1793-1880). Demuestra que cualquier función armónica puede representarse mediante un potencial de capa simple en cualquiera de sus superficies equipotenciales ${\displaystyle v=}$ const. En el caso particular del potencial gravitatorio ${\displaystyle V}$ de un cuerpo sólido situado en el interior de ${\displaystyle \Sigma }$, el teorema de Chasles afirma que siempre es posible sustituir el cuerpo sólido por una capa simple de la superficie de densidad uniforme para adaptarse a una de sus superficies equipotenciales externas sin cambiar el potencial en el exterior.^[1]​ Este teorema puede ser comparado con el teorema de unicidad de Stokes.

Referencias