Diviseur

Pour la notion de diviseur en géométrie algébrique, voir Diviseur (géométrie algébrique).

Le mot diviseur a deux significations en mathématiques :

• Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende.
• En arithmétique, un diviseur d'un entier ${\displaystyle n}$ est un entier ${\displaystyle d}$ tel qu'il existe un autre entier ${\displaystyle k}$ tel que ${\displaystyle n=dk}$. Par exemple ${\displaystyle 2}$ est un diviseur de ${\displaystyle 10}$ car ${\displaystyle 2\times 5=10}$. La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si ${\displaystyle d}$ divise ${\displaystyle n}$ alors ${\displaystyle n}$ est un multiple de ${\displaystyle d}$, et à la notion de divisibilité^[1].

Ces deux notions sont liées. Si ${\displaystyle a}$ est un diviseur de ${\displaystyle b}$ au sens arithmétique et ${\textstyle b\neq 0}$, alors le reste de la division euclidienne de ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$ est ${\displaystyle 0}$ et donc ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ est un entier. On dit alors que ${\displaystyle a}$ est divisible par ${\displaystyle b}$.

Cette notion se généralise aux anneaux commutatifs. Contrairement à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dans un anneau non intègre, ${\displaystyle 0}$ peut avoir des diviseurs non nul.

Diviseurs d'un entier

Ensemble des diviseurs

Si ${\displaystyle n=0}$, tout entier divise ${\displaystyle n}$. En effet pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, l'ensemble des entiers relatifs, ${\displaystyle 0=k\times 0}$, ainsi l'ensemble des diviseurs de ${\displaystyle 0}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Si ${\displaystyle n}$ est un entier non nul, alors ${\displaystyle 0}$ ne divise pas ${\displaystyle n}$. L'entier ${\displaystyle n}$ a donc des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. De plus, si ${\displaystyle d}$ est un diviseur de ${\displaystyle n}$ alors ${\displaystyle -d}$ est aussi un diviseur de ${\displaystyle n}$. Ainsi les diviseurs positifs et négatifs sont les mêmes au signe près. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un entier positif. Par la suite, on se placera dans cette situation.

Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de ${\displaystyle 10}$ est ${\displaystyle \{1,2,5,10\}}$ et celui de ${\displaystyle 60}$ est ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$.

L'entier ${\displaystyle 1}$ possède qu'un seul diviseur : ${\displaystyle 1}$.

Relation de divisibilité

Si ${\displaystyle d}$ est un diviseur de ${\displaystyle n}$, tout diviseur de ${\displaystyle d}$ est aussi un diviseur de ${\displaystyle n}$. Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'un diagramme de Hasse.

Le relation de de divisibilité est une relation d'ordre sur les entiers^[2].

Tout entier n strictement supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs 1 et n qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de n différent de n est un diviseur strict de n (ou partie aliquote — le terme diviseur propre est utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt de diviseur non trivial).

Nombre premier

Un entier n qui possède exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Un nombre premier diviseur de n est appelé un diviseur premier de n.

Le théorème fondamental de l'arithmétique énonce que tout entier strictement supérieur à 1 s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers qui sont ses diviseurs premiers. Cette décomposition en facteurs premiers permet d'énumérer tous les diviseurs de l'entier. Si ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ où les p_i sont des nombres premiers distincts et les α_i des exposants entiers strictement positifs, alors, d est un diviseur de n si et seulement s’il existe des entiers β_i compris au sens large entre 0 et α_i tels que ${\displaystyle d=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\beta _{i}}.}$

Ainsi la décomposition de 60 est ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3^{1}\times 5^{1}}$ et 10 est un diviseur de 60 car il peut s'écrire ${\displaystyle 10=2^{1}\times 3^{0}\times 5^{1}.}$

Fonctions liées à l'ensemble des diviseurs

Il existe des fonctions d'un entier n créées à partir de l'ensemble de ses diviseurs. Les plus classiques sont les fonctions « nombre de diviseurs » et « somme des diviseurs ».

La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombre d(n) des diviseurs de n. Ainsi d(10) = 4, d(36) = 9 et d(60) = 12. La décomposition en facteurs premiers de n permet de donner une valeur explicite à cette fonction. Si la décomposition de n est ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ alors ${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1).}$

Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude des nombres parfaits, nombres abondants, nombres déficients ou nombres amiables, ainsi que dans les suites aliquotes.

Elles font partie de la famille des fonctions "somme des puissances des diviseurs".

Diviseur dans un anneau

La définition de diviseur se généralise à un anneau commutatif : si a et b sont deux éléments d'un anneau A, b divise a si et seulement s’il existe un élément c de A tel que a = bc^[3].

Une attention spéciale doit être portée sur la notion de diviseur de zéro. Selon la définition précédente, tout élément de A divise 0_A (élément neutre de l'addition dans l'anneau A) car a × 0_A = 0_A. Cependant, dans un anneau non intègre, il existe des éléments de A, non nuls, b et c tels que bc = 0_A. Ces éléments sont appelés des diviseurs de zéro dans A.

Notes et références

Articles connexes

• Table des facteurs premiers : une table des facteurs premiers des entiers de 1 à 1 000
• Table des diviseurs : une table des diviseurs (premiers et non premiers) des entiers 1 à 1 000
• Plus grand commun diviseur
• Arithmétique modulaire
• Anneau factoriel

• Arithmétique et théorie des nombres