Formulaire de géométrie classique

Illustration tirée de l'encyclopédie Brockhaus et Efron (1890-1907) représentant deux globes terrestres entourés de diverses formes géométriques.

Ce formulaire de géométrie classique récapitule diverses formules reliant algébriquement des mesures de longueur, d'aire ou de volume pour des figures de géométrie euclidienne.

Figures du plan

Périmètre et aire

Nom Représentation Périmètre p {\displaystyle p} Aire intérieure A {\displaystyle {\mathcal {A}}} Relations supplémentaires
Carré Carré 4 a {\displaystyle 4a} a 2 {\displaystyle a^{2}} d = a 2 {\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}
Rectangle Rectangle 2 ( a + b ) {\displaystyle 2(a+b)} a × b {\displaystyle a\times b} d = a 2 + b 2 {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Triangle Triangle quelconque a + b + c {\displaystyle a+b+c} 1 2 b a s e × h a u t e u r {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} } A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\mathcal {A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

où s = 1 2 p {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}p} (formule de Héron)

Triangle équilatéral Triangle équilatéral 3 a {\displaystyle 3a} a 2 3 4 {\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}} h = a 3 2 {\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}
Triangle isocèle rectangle Triangle isocèle rectangle
c = côté de l'angle droit		 ( 2 + 2 ) c {\displaystyle (2+{\sqrt {2}})c} 1 2 c 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c^{2}} d = c 2 {\displaystyle d=c{\sqrt {2}}}
Losange Losange 4 a {\displaystyle 4a} D 1 × D 2 2 {\displaystyle {\frac {D_{1}\times D_{2}}{2}}} . a = 1 2 D 1 2 + D 2 2 {\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{D_{1}}^{2}+{D_{2}}^{2}}}}
Parallélogramme Parallélogramme 2 ( a + b ) {\displaystyle 2(a+b)} a × h {\displaystyle a\times h} A = a b sin ⁡ θ {\displaystyle {\mathcal {A}}=ab\sin \theta }
Trapèze Trapèze a + b + c + d {\displaystyle a+b+c+d} 1 2 ( a + c ) × h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+c)\times h}
Disque Disque 2 π r {\displaystyle 2\pi r} π × r 2 {\displaystyle \pi \times r^{2}}
Couronne circulaire Couronne circulaire π ( R 2 − r 2 ) {\displaystyle \pi \left(R^{2}-r^{2}\right)}
Secteur circulaire Secteur circulaire r ⋅ ( 2 + π ⋅ θ ∘ 180 ) {\displaystyle r\cdot \left(2+\pi \cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}\right)} π r 2 ⋅ θ ∘ 360 {\displaystyle \pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}} L = π r ⋅ θ ∘ 180 {\displaystyle L=\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}}
Segment circulaire Segment circulaire R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)} s = R θ {\displaystyle s=R\theta }

c = 2 R sin ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle c=2R\sin(\theta /2)}

d = R cos ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle d=R\cos(\theta /2)}

h = R ( 1 − cos ⁡ ( θ / 2 ) ) {\displaystyle h=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)}

Ellipse Ellipse L = ∫ 0 2 π a 2 cos 2 ⁡ t + b 2 sin 2 ⁡ t d t {\displaystyle L=\textstyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,\mathrm {d} t} π × a × b {\displaystyle \pi \times a\times b} 2 π a + b 2 < L < 2 π a 2 + b 2 2 {\displaystyle 2\pi {\frac {a+b}{2}}<L<2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}

Autres relations

Triangle rectangle.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle A B C {\displaystyle ABC} rectangle en C {\displaystyle C} , les longueurs des côtés sont reliées par la formule :
A B 2 = A C 2 + B C 2 . {\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.}
Configuration de Thalès.
Théorème de Thalès
Dans un triangle A B C {\displaystyle ABC} non plat, si une droite parallèle à ( B C ) {\displaystyle (BC)} coupe ( A B ) {\displaystyle (AB)} en D {\displaystyle D} et coupe ( A C ) {\displaystyle (AC)} en E {\displaystyle E} alors les égalités suivantes sont vérifiées :
A D A B = A E A C = D E B C . {\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}.}

Figures de l'espace

Nom Représentation Aire de la surface Volume intérieur Relations supplémentaires
Cube 6 c 2 {\displaystyle 6c^{2}} c 3 {\displaystyle c^{3}} D = c 3 {\displaystyle {\mathcal {D}}=c{\sqrt {3}}}
Pavé droit Pavé droit 2 ( a b + a h + b h ) {\displaystyle 2(ab+ah+bh)} a b h {\displaystyle abh} D = a 2 + b 2 + h 2 {\displaystyle {\mathcal {D}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+h^{2}}}}
Prisme droit B : aire de chaque base
P : périmètre de chaque base
h : hauteur du prisme		 extrémités :
2 × B {\displaystyle 2\times B}

surface latérale :
P h {\displaystyle Ph}

B × h {\displaystyle {\mathcal {B}}\times h}
Cylindre de révolution Cylindre droit extrémités :
2 × π r 2 {\displaystyle 2\times \pi r^{2}}

surface latérale :
2 π r h {\displaystyle 2\pi rh}

aire totale :
2 π r ( h + r ) {\displaystyle 2\pi r(h+r)} .

 π r 2 h {\displaystyle \pi r^{2}h}
Pyramide Pyramide 1 3 B × h {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\mathcal {B}}\times h}
Tétraèdre régulier a 2 3 {\displaystyle a^{2}{\sqrt {3}}} a 3 2 12 {\displaystyle {\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}} h = a 2 3 {\displaystyle h=a{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}
Cône de révolution
Cône de révolution 		base :
π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}}

surface latérale :
S = π r R = π r r 2 + h 2 {\displaystyle S=\pi rR=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h} S = ( π − θ 2 ) R 2 {\displaystyle S=\left(\pi -{\frac {\theta }{2}}\right)R^{2}}

θ = 2 π ( 1 − r R ) {\displaystyle \theta =2\pi \left(1-{\frac {r}{R}}\right)}

h = R θ 2 π ( 2 − θ 2 π ) {\displaystyle h=R{\sqrt {{\frac {\theta }{2\pi }}\left(2-{\frac {\theta }{2\pi }}\right)}}}

Sphère Sphère 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} 4 3 π r 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}
Calotte sphérique base :
π a 2 {\displaystyle \pi a^{2}}

surface courbe :
S = 2 π r h = π d 2 {\displaystyle S=2\pi rh=\pi d^{2}}

1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})} r = a 2 + h 2 2 h {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}

S = 4 π r 2 sin 2 ⁡ r ′ 2 r {\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {r'}{2r}}}

pour r ′ ≪ r {\displaystyle r'\ll r} , S ≈ π r ′ 2 ( 1 − 1 12 r ′ 2 r 2 ) {\displaystyle S\approx \pi r'^{2}\left(1-{\frac {1}{12}}{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}\right)}

Ellipsoïde (non algébrique) 4 3 π a b c {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi abc}
Tore 4 π 2 r R {\displaystyle 4\pi ^{2}rR} 2 π 2 r 2 R {\displaystyle 2\pi ^{2}r^{2}R}
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