Règle de la somme

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En analyse combinatoire, la règle de la somme^{[réf. nécessaire]} ou principe d'addition^{[réf. souhaitée]} est un principe de base du dénombrement. C'est l'idée que si nous avons a façons de faire quelque chose et b façons d'en faire une autre, mais que nous ne pouvons pas faire les deux en même temps, alors il y a a + b façons de choisir une de ces actions.

Un exemple simple

Une personne a décidé d'effectuer un achat dans une boutique aujourd'hui, soit dans le nord de la ville, soit dans le sud de la ville. Si elle va dans le nord, elle peut aller soit dans une boutique de vêtements, soit dans un magasin de bricolage, soit chez un chapelier (3 options). Si elle se rend dans le sud de la ville, alors elle a le choix entre une boulangerie et une épicerie (2 options).

Finalement, il y a 3 + 2 = 5 magasins possibles où elle pourra effectuer un achat aujourd'hui.

Formalisation

De façon plus formalisée, la règle de la somme a trait à la théorie des ensembles. Elle établit que la somme des tailles d'une collection finie d'ensembles deux à deux disjoints est la taille de la réunion de ces ensembles. Ainsi, si S₁, … , S_n sont des ensembles deux à deux disjoints, alors :

${\displaystyle |S_{1}|+|S_{2}|+\cdots +|S_{n}|=|S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}|}$.

Principe d'inclusion-exclusion

Le principe d'inclusion-exclusion peut être considéré comme une généralisation de la règle de la somme, au sens où il dénombre également les éléments dans la réunion de plusieurs ensembles, sans que ces ensembles doivent être disjoints. Il établit que si A₁, … , A_n sont des ensembles finis, alors

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}&{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&{}\qquad +\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}$

Référence

• Portail des mathématiques