Théorème de Bolzano-Weierstrass

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass, BWT, TBW et Bolzano.

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce

Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.

ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :

Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d'adhérence.

Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :

Toute partie fermée bornée de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est séquentiellement compacte.

Enfin, on peut généraliser le théorème à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Démonstration (cas réel)

Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.

La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.

La seconde preuve s'appuie sur une dichotomie^[1],[2],[3]. Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite réelle bornée. Soit un minorant ${\displaystyle m}$ et un majorant ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle (u_{n})}$. On pose ${\displaystyle m_{0}=m,M_{0}=M}$. Notons ${\displaystyle d_{0}=(m_{0}+M_{0})/2}$ le milieu de l'intervalle ${\displaystyle [m_{0},M_{0}]}$. Tous les termes de ${\displaystyle (u_{n})}$ sont dans ${\displaystyle [m_{0},M_{0}]}$, et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles ${\displaystyle [m_{0},d_{0}]}$ et ${\displaystyle [d_{0},M_{0}]}$. Itérons le processus : posons ${\displaystyle m_{1}=m_{0},M_{1}=d_{0}}$ ou ${\displaystyle m_{1}=d_{0},M_{1}=M_{0}}$ de sorte qu'il y ait une infinité de termes de ${\displaystyle (u_{n})}$ dans ${\displaystyle [m_{1},M_{1}]}$, et posons ${\displaystyle d_{1}=(m_{1}+M_{1})/2}$ le milieu de ${\displaystyle [m_{1},M_{1}]}$. À nouveau, il y a une infinité de termes de ${\displaystyle (u_{n})}$ dans ${\displaystyle [m_{1},d_{1}]}$ ou dans ${\displaystyle [d_{1},M_{1}]}$, et on peut continuer infiniment. Les suites ${\displaystyle (m_{n})}$ et ${\displaystyle (M_{n})}$ sont adjacentes car ${\displaystyle (m_{n})}$ est croissante, ${\displaystyle (M_{n})}$ est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune ${\displaystyle l}$. On pose ${\displaystyle \varphi (0)=0}$, et pour tout ${\displaystyle n}$, on choisit ${\displaystyle \varphi (n+1)}$ comme le plus petit entier strictement supérieur à ${\displaystyle \varphi (n)}$ tel que ${\displaystyle u_{\varphi (n+1)}}$ appartienne à ${\displaystyle [m_{n+1},M_{n+1}]}$, ce qui est possible car une infinité de termes de ${\displaystyle (u_{n})}$ appartiennent à ${\displaystyle [m_{n+1},M_{n+1}]}$. Alors, par le théorème des gendarmes, la suite ${\displaystyle (u_{\varphi (n)})}$ extraite de ${\displaystyle (u_{n})}$ tend vers ${\displaystyle l}$.

Généralisation aux ℝ-espaces vectoriels normés de dimension finie

Le théorème s'applique toujours en remplaçant ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ muni du module complexe.

Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espace vectoriel normé de dimension finie ${\displaystyle d}$, assimilé sans perte de généralité à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ muni d'une norme ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$, et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux ${\displaystyle d}$-ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Lien avec la compacité

Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article « Espace dénombrablement compact ».
  • Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article « Valeur d'adhérence ».
• L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Notes et références

Voir aussi

Article connexe

Lemme de Cousin

Bibliographie

• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995

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