Théorème de Jung

En géométrie, le théorème de Jung fournit une inégalité entre le diamètre d'un ensemble de points d'un espace euclidien et celui de la boule englobante minimum de cet ensemble. Il porte le nom du mathématicien allemand Heinrich Jung, qui a obtenu cette inégalité en 1901.

Énoncé

Toute partie bornée non vide X de l'espace euclidien de dimension n est incluse dans une unique boule fermée de rayon minimal, et le diamètre d de cette boule est relié au diamètre d X = sup M , N ∈ X M N {\displaystyle d_{X}=\sup _{M,N\in X}MN} de la partie X par les inégalités :

d X ⩽ d ⩽ d m a x = d X 2 n ( n + 1 ) . {\displaystyle d_{X}\leqslant d\leqslant d_{max}=d_{X}{\sqrt {\frac {2n}{(n+1)}}}.}

Le cas d'égalité dans l'inégalité de droite est atteint par le simplexe régulier de dimension n.

Théorème de Jung dans le plan

Le cas le plus commun du théorème de Jung est celui du plan euclidien avec n = 2. Dans ce cas, le théorème assure qu'il existe un cercle entourant tous les points dont le diamètre satisfait

d ⩽ 2 3 d X < 1 , 155. d X {\displaystyle d\leqslant {\frac {2}{\sqrt {3}}}d_{X}<1,155.d_{X}}

Le cas d'égalité est obtenu pour un triangle équilatéral.

Démonstration

Existence d'une boule de rayon minimum : l'application qui, à tout point M, associe la borne supérieure des distances de M aux points de X, est continue (car 1-lipschitzienne) et tend vers +∞ quand M s'éloigne à l'infini, donc elle atteint son minimum r, en un point C, centre d'une telle boule de diamètre d = 2 r {\displaystyle d=2r} .

Unicité de C : se déduit du théorème de la médiane.

Majoration : d'après le théorème de Helly, il suffit de la démontrer dans le cas où X est fini et de cardinal inférieur ou égal à n + 1. Notons alors M 0 , ⋯ , M m {\displaystyle M_{0},_{\cdots },M_{m}} ( m ⩽ n {\displaystyle m\leqslant n} ) les points de X dont la distance au centre C vaut exactement r. On se convainc rapidement par un argument variationnel que C appartient à leur enveloppe convexe. Il existe donc des réels

λ 0 , … , λ m ⩾ 0  tels que  ∑ λ i = 1  et  C = ∑ λ i M i . {\displaystyle \lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}\geqslant 0{\text{ tels que }}\sum \lambda _{i}=1{\text{ et }}C=\sum \lambda _{i}M_{i}.}

Pour chaque indice k de 0 à m on a alors :

( 1 − λ k ) d X 2 = ∑ i ≠ k λ i d X 2 ⩾ ∑ i ≠ k λ i ( M k M i ) 2 = ∑ i = 0 m λ i M k M i → 2 = ∑ i = 0 m λ i ( 2 r 2 − 2 C M k → ⋅ C M i → ) = 2 r 2 = d 2 / 2 {\displaystyle (1-\lambda _{k})d_{X}^{2}=\sum _{i\neq k}\lambda _{i}d_{X}^{2}\geqslant \sum _{i\neq k}\lambda _{i}(M_{k}M_{i})^{2}=\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}{\overrightarrow {M_{k}M_{i}}}^{2}=\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}(2r^{2}-2{\overrightarrow {CM_{k}}}\cdot {\overrightarrow {CM_{i}}})=2r^{2}=d^{2}/2}

d'où, en sommant :

m d X 2 ⩾ ( m + 1 ) d 2 / 2  donc  d X 2 d 2 ⩾ 2 ( 1 + 1 m ) ⩾ 2 ( 1 + 1 m ) , {\displaystyle md_{X}^{2}\geqslant (m+1)d^{2}/2{\text{ donc }}{\frac {d_{X}^{2}}{d^{2}}}\geqslant 2\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\geqslant 2\left(1+{\frac {1}{m}}\right),}

ce qui conclut.

Le simplexe régulier de dimension n a pour diamètre la longueur a de ses côtés. Sa sphère circonscrite a pour diamètre a 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle a{\sqrt {\frac {2n}{(n+1)}}}} qui est aussi le diamètre de sa boule englobante minimale, d'où l'égalité dans l'inégalité.

Références

  • (en) Mikhail Katz (en), « Jung's theorem in complex projective geometry », Q. J. Math., vol. 36, no 4,‎ , p. 451-466 (DOI 10.1093/qmath/36.4.451)
  • (en) B. V. Dekster, « The Jung theorem for the spherical and hyperbolic spaces », Acta Math. Sci. Hungar., vol. 67, no 4,‎ , p. 315-331 (DOI 10.1007/BF01874495)
  • (en) B. V. Dekster, « The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 125, no 8,‎ , p. 2425-2433 (DOI 10.1090/S0002-9939-97-03842-2)
  • (de) Heinrich Jung, « Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschliesst », J. reine angew. Math., vol. 123,‎ , p. 241-257 (lire en ligne)
  • (de) Heinrich Jung, « Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt », J. reine angew. Math., vol. 137,‎ , p. 310-313 (lire en ligne)
  • (en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics : Selections from Mathematics for the Amateur, Dover, , 205 p. (ISBN 978-0-486-26242-0, lire en ligne), chap. 16 (pour une partie finie du plan)
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jung's theorem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

  • icône décorative Portail de la géométrie