Théorème de Wiener-Wintner

En mathématiques, le théorème de Wiener-Wintner, démontré en 1941 par Norbert Wiener et Aurel Wintner, est un renforcement du théorème ergodique[Lequel ?].

Énoncé

Supposons que τ {\displaystyle \tau } est une transformation préservant les mesures d'un espace mesuré S de mesure finie. Si f est une fonction à valeurs réelles et intégrable sur S, le théorème de Wiener-Wintner affirme qu'il existe un ensemble E de mesure nulle telle que la moyenne

lim ℓ → ∞ 1 2 ℓ + 1 ∑ j = − ℓ ℓ e i j λ ⁡ f ( τ j P ) {\displaystyle \lim _{\ell \to \infty }{\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{j=-\ell }^{\ell }\operatorname {e} ^{\mathrm {i} j\lambda }f(\tau ^{j}P)}

existe pour tout réel λ {\displaystyle \lambda } et pour tout P n'appartenant pas à E.

Le cas particulier λ = 0 est essentiellement le théorème ergodique de Birkhoff, d'où découle immédiatement l'existence d'un ensemble E de mesure nulle, pour tout λ fixé, ou pour tout ensemble dénombrable de λ. L'intérêt du théorème de Wiener-Wintner est que l'on peut choisir l'ensemble négligeable exceptionnel E indépendamment de λ.

Ce théorème est un cas particulier du théorème des temps de retour[Lequel ?].

Références

  • (en) « Wiener-Wintner theorem », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) Norbert Wiener et Aurel Wintner, « Harmonic analysis and ergodic theory », Amer. J. Math., vol. 63,‎ , p. 415-426 (DOI 10.2307/2371534, JSTOR 2371534, MR 0004098)
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