Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

${\displaystyle |x|\,}$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

${\displaystyle x\mapsto |x|\,}$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos ${\displaystyle \scriptstyle {|\,.\,|}}$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

${\displaystyle \mathrm {abs} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;\;\;x\mapsto |x|}$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

${\displaystyle \mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ {\begin{cases}\ x,&{\mbox{ha }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ x\cdot \operatorname {sgn}(x)}$ ${\displaystyle \mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ \max\{x,-x\}\,}$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Példák

${\displaystyle |7|=7}$

${\displaystyle |{-8}|=-(-8)=8}$

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

${\displaystyle |\,|x|\,|=|x|}$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans ${\displaystyle L=1}$:

${\displaystyle {\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|}$.

Derivált és integrál

Az abszolútérték-függvény a ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ halmazon megegyezik az ${\displaystyle x\mapsto -x}$ függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja ${\displaystyle -1}$. Hasonlóan, a függvény a ${\displaystyle (0,+\infty )}$ halmazon megegyezik az ${\displaystyle x\mapsto x}$ függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja ${\displaystyle 1}$. Emiatt a függvény az ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

${\displaystyle \mathrm {abs} '(x)=\mathrm {sgn} (x)\quad \quad x\neq 0}$

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)}$.

Arkhimédészi tulajdonság

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy ${\displaystyle n}$ egész szám, melyre ${\displaystyle |n|>1}$, akkor minden ${\displaystyle m>1}$ egész számra teljesül, hogy ${\displaystyle |m|>1}$.^[1]

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

${\displaystyle |x\cdot y|=|x||y|\,}$

Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

${\displaystyle {\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|\,|...|} }}x{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|...|\,|} }}=|x|\,}$

vagy az analízis formalizmusában

${\displaystyle {\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {\mathrm {abs} \circ \mathrm {abs} \circ ...\circ \mathrm {abs} } }}=\mathrm {abs} \,}$

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek

A megoldáshoz tudni kell, hogy ${\displaystyle |a|=b}$ esetén következik, hogy ${\displaystyle a=b}$ vagy ${\displaystyle a=-b}$. Hogyha ${\displaystyle b<0}$, akkor ${\displaystyle |a|=-b}$.

Például szeretnénk megoldani az ${\displaystyle |x+3|=5}$ egyenletet a valós számokon.

A számolás a következő:

${\displaystyle |x+3|=5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+3=5{\text{ vagy }}x+3=-5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=5-3{\text{ vagy }}x=-5-3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=2{\text{ vagy }}x=-8}$

Tehát az egyenletnek két megoldása van ${\displaystyle x}$-re, jelesül 2 és −8.

Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:

${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ vagy }}b\leq a}$

Például szeretnénk meg oldani az ${\displaystyle |x-3|\leq 9}$ egyenlőtlenséget a valós számokon.

Számolhatunk a következőképpen:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}$

Tehát megoldásként a ${\displaystyle [-6,12]}$ intervalllum adódik.

Általában az ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle m}$ és ${\displaystyle r}$ valós számokra:

${\displaystyle |x-m|\leq r\iff x\in [m-r,m+r]}$.

Általánosítás

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}$

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Komplex abszolútérték

Legy ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$, ahol ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ valós. Ekkor

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {(x+\mathrm {i} y)\cdot (x-\mathrm {i} y)}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$,

ahol ${\displaystyle {\bar {z}}}$ a ${\displaystyle z}$ szám komplex konjugáltja. Hogyha ${\displaystyle z}$ valós, akkor ${\displaystyle y=0}$, így ${\displaystyle z=x}$; ezzel a komplex abszolútérték

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel.

A komplex abszolútértékre példa:

${\displaystyle |3+4\mathrm {i} |={\sqrt {(3+4\mathrm {i} )\cdot (3-4\mathrm {i} )}}={\sqrt {3^{2}-(4\mathrm {i} )^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$

A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Norma

Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma.

A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:

${\displaystyle |z|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {z{\bar {z}}}}=0\;\Rightarrow \;z{\bar {z}}=0\;\Leftrightarrow \;z=0}$

A homogenitás adódik abból, hogy ha ${\displaystyle w,z}$ komplex számok, akkor

${\displaystyle |w\cdot z|^{2}=(w\cdot z){\overline {(w\cdot z)}}=(w\cdot z)({\bar {w}}\cdot {\bar {z}})=(w\cdot {\bar {w}})(z\cdot {\bar {z}})=|w|^{2}\cdot |z|^{2}}$

A háromszög-egyenlőtlenség:

${\displaystyle {\begin{aligned}|w+z|^{2}&=(w+z){\overline {(w+z)}}=(w+z)({\bar {w}}+{\bar {z}})=w{\bar {w}}+w{\bar {z}}+z{\bar {w}}+z{\bar {z}}=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+w{\bar {z}}+{\overline {w{\bar {z}}}}=|w|^{2}+|z|^{2}+2\operatorname {Re} (w{\bar {z}})\\&\leq |w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w{\bar {z}}|=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w|\,|z|=(|w|+|z|)^{2},\end{aligned}}}$

ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra.

Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika:

${\displaystyle d(x,y):=|x-y|}$,

ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke.

A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva.

Egyéb testek fölött

Legyen ${\displaystyle D}$ integritástartomány, és ${\displaystyle \varphi }$ egy ${\displaystyle D\rightarrow \mathbb {R} }$ függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is:

	${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$	(0)	Nemnegativitás
	${\displaystyle \varphi (x)=0\iff x=0}$	(1)	Definitség
			(0) és (1) együtt pozitív definitség
	${\displaystyle \varphi (x\cdot y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)}$	(2)	Multiplikativitás, abszolút homogenitás
	${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)}$	(3)	Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség

A ${\displaystyle \varphi }$ függvény kiterjesztése a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a ${\displaystyle \varphi }$ függvény a hányadostest értékelése.

Ha ${\displaystyle \varphi (n)\leq 1}$ minden ${\displaystyle n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-szer}}}}$ természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi.

A ${\displaystyle \varphi (x)=1}$ minden ${\displaystyle x\neq 0}$ esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés.

Nemarkhimédészi esetben teljesül

${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y))}$

(3’)

az éles háromszög-egyenlőtlenség.

Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.

• Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla.
• A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet.
• A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik.
• A racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak.
• Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.

Ha ${\displaystyle K}$ test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet ${\displaystyle {\hat {K}}}$ jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$ és ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}}={\hat {\mathbb {Q} }}(\mathrm {i} )=\mathbb {C} }$. A nemarkhimédészi teljessé tételek ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {Q} _{p}}$ minden ${\displaystyle p}$ prímre.

A triviális norma kiterjesztése is triviális.

Legyenek ${\displaystyle \varphi }$ és ${\displaystyle \psi }$ egy ${\displaystyle K}$ test normái vagy értékelései! Ekkor a következők:

1. Minden ${\displaystyle \{x_{\nu }\}}$ sorozat, ami ${\displaystyle \varphi }$ szerint nullsorozat, azaz ${\displaystyle \lim \limits _{\nu \to \infty }\varphi (x_{\nu })=0}$, akkor ${\displaystyle \psi }$ szerint is nullsorozat – és megfordítva.
2. Ha ${\displaystyle \varphi (x)<1}$, akkor ${\displaystyle \psi (x)<1}$.
3. ${\displaystyle \psi }$ a ${\displaystyle \varphi }$ hatványa, vagyis ${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)^{\epsilon }}$ minden ${\displaystyle x}$ esetén egy előre rögzített ${\displaystyle \epsilon >0}$ számmal.

Lásd még

• szignumfüggvény
• norma (matematika)

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Absolute value (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Alice és Bob – 17. rész: Alice és Bob ókori haverja

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Betragsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek