Euler-egyenletek

Az Euler-egyenletek a belső súrlódás (viszkozitás) nélküli ideális közeg mozgását leíró differenciálegyenlet-rendszer. Nevét Leonhard Euler után kapta. Az egyenletek a tömeg, az impulzus és az energia megmaradását fejezik ki és a Navier-Stokes egyenletek viszkozitás és hővezetés nélküli alakjának felelnek meg. Euler csak a folytonosságot és az impulzus megmaradását vezette le, de a folyadékok mechanikája irodalma általában az energiamegmaradással bővített egyenletrendszert is Euler-egyenleteknek hívja.[1]

A Navier-Stokes egyenletekhez hasonlóan az Euler-egyenleteket is kétféle alakban szokás megadni: az egyik esetben az egyenleteket az álló koordináta-rendszerhez képest rögzített közegtérfogatra írják fel, a másik esetben pedig egy közegtérfogat változásait írják le, amint az áramlással együtt továbbhalad. Az Euler-egyenletek mind összenyomható (gáz), mind összenyomhatatlan (folyadék) közegre érvényesek, ez utóbbi esetben a sebességek vektorterének divergenciája zérus.

Az eredeti Euler-egyenlet álló koordináta-rendszerben

Szárny körül áramló ideális folyadék áramvonalai

Az Euler egyenlet a folyadékrészre ható erők és a gyorsulása között teremt összefüggést:

d v → d t = g → − 1 ρ grad p {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {g}}-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \;p} ,

ahol

d v → d t {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}} a folyadékrész gyorsulásvektora,
g → {\displaystyle {\vec {g}}} a nehézségi gyorsulás vektora,
ρ {\displaystyle \rho } a folyadék sűrűsége,
p {\displaystyle p} pedig a nyomás skalár mezője.

A folyadékrész gyorsulására a következő összefüggés írható:

d v → d t = ∂ v → ∂ t + grad v 2 2 − v → × rot v → {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \;{\frac {v^{2}}{2}}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} \;{\vec {v}}}

Ezzel az Euler-egyenlet így is írható:

∂ v → ∂ t + grad v 2 2 − v → × rot v → = g → − 1 ρ grad p {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \;{\frac {v^{2}}{2}}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} \;{\vec {v}}={\vec {g}}-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \;p}

Végül, ha a sűrűség a nyomásnak függvénye (összenyomható közeg esetén), a jobb oldal így is írható:

g → − 1 ρ ( p ) grad p = g → − grad ∫ p 0 p d p ρ ( p ) {\displaystyle {\vec {g}}-{\frac {1}{\rho (p)}}\operatorname {grad} \;p={\vec {g}}-\operatorname {grad} \;\int \limits _{p_{0}}^{p}{\frac {dp}{\rho (p)}}}

Az egyenlet „természetes” koordináta-rendszerben

Ha az áramlás stacionárius (időben nem változó), és a koordináta-rendszert úgy vesszük fel, hogy az 'e'-tengely az áramvonal érintője legyen, az 'n' koordináta az áramvonalat az érintési pontban a görbületi középponttal összekötő normálisa, a harmadik, 'b' koordináta pedig az első kettő síkjára merőleges binormális, akkor az Euler-egyenlet érintő irányú komponense:

v ∂ v ∂ e = − 1 ρ ∂ p ∂ e + g e {\displaystyle v{\frac {\partial v}{\partial e}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial e}}+g_{e}}

Az egyenlet normális irányú komponense pedig:

− v 2 R = − 1 ρ ∂ p ∂ n + g n {\displaystyle -{\frac {v^{2}}{R}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}+g_{n}} ,

A binormális irányú komponens pedig, mivel ebben az irányban nincs gyorsulás:

0 = − 1 ρ ∂ p ∂ b + g b {\displaystyle 0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial b}}+g_{b}}

ahol

R {\displaystyle R} az áramvonal görbületi sugara,
g e {\displaystyle g_{e}} a nehézségi gyorsulás érintő irányú,
g n {\displaystyle g_{n}} a normális irányú,
g b {\displaystyle g_{b}} pedig a binormális irányú komponense.

Jegyzetek

  1. ↑ Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4

Irodalom

  • Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
  • Lajos Tamás: Az áramlástan alapjai. Előadási jegyzet. Budapesti Műszaki Egyetem Áramlástan Tanszék. Budapest, 1992. Kézirat. Magyar Elektronikus Könyvtár