Forgásfelület

A forgásfelület egy olyan felület, ami egy síkgörbe (ez a vezérgörbe) egy, a görbe síkjába eső egyenes (ez a forgástengely) körül való megforgatásával áll elő.

• Ha a vezérgörbe egy, a forgástengellyel párhuzamos egyenes, akkor hengerpalástot kaphatunk.
• Ha az egyenes vezérgörbe általános helyzetű, kúpfelület jön létre.
• Ha kört forgatunk meg egy átmérője körül, akkor gömbfelületet kapunk.
• Ha a kört egy síkjába eső, de rajta kívül húzódó tengely körül forgatjuk meg, akkor tóruszfelületet kapunk.
• Ha ellipszist forgatunk meg egyik tengelye körül, szferoidot kapunk.

Ha a görbe az ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ parametrikus függvényekkel van megadva, ahol a ${\displaystyle t}$ egy ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon értelmezett, és a forgástengely az ${\displaystyle y}$ koordinátatengely, akkor az ${\displaystyle A}$ területet a következő integrállal adhatjuk meg (feltéve ha ${\displaystyle x(t)}$ sehol sem negatív):

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$

Pappus–Guldin tétel

Az egyik Pappus–Guldin tétel kimondja, hogy a forgásfelület felszine egyenlő a vezérgörbe hosszának és a vezérgörbe súlypontja útjának szorzatával:

${\displaystyle A=s.r_{s}.\alpha \,}$

Itt

${\displaystyle r_{s}\,}$ a vezérgörbe súlypontjának távolsága a tengelytől,

${\displaystyle \alpha \,}$ a megforgatás szöge.