Gauss-féle hibafüggvény

A matematikában a hibafüggvény (Gauss-féle hibafüggvénynek is hívják) egy speciális, szigmoid (szigmoid-függvény) alakú (nem elemi) függvény, mely a valószínűségszámításban, a statisztika területén, és a parciális differenciálegyenleteknél fordul elő.

Definíciója:^[1][2]

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt.}$

(Ha x negatív, akkor negatív integrálként értelmezik az [x,0] tartományban). A komplementer hibafüggvény (jelölése: erfc) definíciója:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$

Az imaginárius hibafüggvény (jelölése: erfi) definíciója:

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z)}$

A komplex hibafüggvény (jelölése: w(x)) (mint Faddeeva-függvényként is ismert) definíciója:

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}{\operatorname {erfc} }(-ix)=e^{-x^{2}}[1+i\,\,\operatorname {erfi} (x)]}$

Hibafüggvény a gyakorlatban

A hibafüggvényt a méréselméletben használják (valószínűségszámítás és a statisztika területén, valamint a matematika más ágaiban is, ahol ez az elnevezés ragadt meg. A hibafüggvény kapcsolódik a kumulatív eloszláshoz ${\displaystyle \Phi }$, a standard normális eloszlás integráljához (“haranggörbe”):^[2] ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (x/{\sqrt {2}})}$

x ≥ 0 esetén, és

${\displaystyle \Phi (x)=1-\Phi (-x)}$

x ≤ 0 esetén a hibafüggvény pozitív x értékekre ${\displaystyle {\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$ helyen megadja a mérés valószínűségét, a normális eloszlású hiba esetére, ahol a szórás ${\displaystyle \sigma }$, és a középértéktől való távolsága kisebb mint x.^[3] Ezt a függvényt a statisztikában használják bármely minta viselkedésének megbecsülésére, a népességgel kapcsolatban. Ez az alkalmazás hasonló a Q-függvényhez, mely kapcsolódik a hibafüggvény jellemzőihez.

Tulajdonságok

Az ${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}$ egyenlet azt jelenti, hogy a hibafüggvény úgynevezett páratlan függvény. Bármely z complex számra:  

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

ahol ${\displaystyle {\overline {z}}}$ a ${\displaystyle z}$ komplex konjugáltja.

Ábrázolás a komplex síkon

Az ábrákon az ƒ = exp(–z²) és ƒ = erf(z) integrandusok ábrázolása látható a komplex z-síkon. A Im(ƒ) = 0 szint vastag zöld vonallal látható. Az Im(ƒ) negatív egész értékeit vastag piros vonal jelzi. ${\displaystyle \Im (f)}$ pozitív egész értékeit vastag kék vonal jelzi. Im(ƒ)=konstans köztes szintjeit vékony zöld vonal jeleníti meg. Az Re(ƒ) = konstans köztes szintjeit vékony piros vonalak ábrázolják negatív értékekre és vékony kék vonalak pozitív értékekre. A valós tengelyen erf(z) közelít z → +∞, és –1-nél z → –∞.

Taylor-sorok

A hibafüggvény egy úgynevezett teljes függvény: nincsenek szingularitásai (kivéve a végtelenben), és a Taylor-sora mindig konvergens. Az integrál meghatározását nem lehet zárt formában, elemi függvények kifejezéseivel elvégezni, de az ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ integrandusza Taylor-sorba fejthető lépésenként, és akkor a következő egyenletet kapjuk:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

mely érvényes minden z komplex számra. A fenti sorozat iteratív megközelítése a következő formában hasznos lehet:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

mert a ${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$ kifejezi a szorzót, mely a k^th -t (k + 1)^th-ba változtatja. A hibafüggvény +∞-nél pontosan 1 (lásd még Gauss integrál). A hibafüggvény deriváltja ebből a definícióból származik:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}$

A hibafüggvény antideriváltja:

${\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Inverz függvény

Az inverz hibafüggvényt Maclaurin-sornak is lehet definiálni:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!}$

ahol c₀ = 1 és

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.}$

Az inverz komplementer hibafüggvény:

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$

Elemi függvényekkel történő közelítés

Abramowitz és Stegun számos közelítő megoldást ad különböző pontossággal. Ez lehetővé teszi a felhasználónak, hogy kiválaszthassa a számára legalkalmasabb megközelítést. A következőkben növekvő pontosság mellett bemutatunk néhány közelítő megoldást:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4})^{4}}}}$    (maximális hiba: 5·10^–4)

ahol a₁=0.278393, a₂=0.230389, a₃=0.000972, a₄=0.078108

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$    (maximális hiba: 2.5·;10^–5)

ahol p=0.47047, a₁=0.3480242, a₂=-0.0958798, a₃=0.7478556

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{6}x^{6})^{16}}}}$    (maximális hiba: 3·;10^–7)

ahol a₁=0.0705230784, a₂=0.0422820123, a₃=0.0092705272, a₄=0.0001520143, a₅=0.0002765672, a₆=0.0000430638

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+...+a_{5}t^{5})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$    (maximális hiba: 1.5·10^–7)

ahol p=0.3275911, a₁=0.254829592, a₂=–0.284496736, a₃=1.421413741, a₄=–1.453152027, a₅=1.061405429 A fenti megközelítő megoldások x≥0 esetén érvényesek. Negatív x esetén, ki kell használni azt a tényt, hogy erf(x) egy páratlan függvény, s így erf(x)=–erf(–x).

Egy másik megközelítés:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$

ahol

${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$

Ez a megközelítés igen nagy pontosságot ad a 0, és a végtelen szomszédságában, és a hiba kisebb, mint 0.00035 minden x-re. A a ≈ 0.147 értéket használva a maximális hiba lecsökken közel 0.00012-re.^[4] A megközelítést invertálni is lehet az inverz hiba függvény kiszámítására:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln(1-x^{2})}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)}}}$

Alkalmazás

Ha egy mérési sorozat eredményeit a normális eloszlás szórásával (${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$) írjuk le, és a várható érték 0, akkor ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {erf} \,\left(\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\,\right)}$ a valószínűsége, hogy egy egyszeri mérés –a and +a közé esik pozitív a esetén. Ez hasznos, például, egy digitális kommunikációs rendszer bithibaarányának megállapításánál. A hibafüggvény és a komplementer hibafüggvény, például, a hőegyenlet megoldásánál fordul elő, amikor a határérték probléma a Heaviside-függvény által adott.

Kapcsolódó függvények

A hibafüggvény lényegében azonos a standard normális kumulatív eloszlás függvénnyel (Φ), melyet programozási nyelvekben norm(x)-nek neveznek, és csak skálázásban, és fordításban különbözik. ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$ vagy erf-, és erfc-re átrendezve:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$

Következésképpen, a hibafüggvény szorosan kapcsolódik a Q-függvényhez, mely a normális eloszlás farok-eloszlása. A Q-függvény kifejezhető a hibafüggvény kifejezéseivel is:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

A Φ inverze úgy is ismert, mint a normális kvantilis függvény, vagy a probit-függvény, és kifejezhető az inverz hibafüggvénnyel:

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

A standard normális cdf-et gyakran használják valószínűségszámításban és statisztikában, és a hibafüggvényt a matematika számos más ágában is alkalmazzák. A hibafüggvény a Mittag–Leffler függvény speciális esete, és kifejezhető, mint a Kummer-függvény:

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

Általánosított hibafüggvény

Az általánosított hibafüggvény E_n(x):
szürke görbe: E₁(x) = (1 – e ^–x)/${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}$
piros görbe: E₂(x) = erf(x)
zöld görbe: E₃(x)
kék görbe: E₄(x)
sárga görbe: E₅(x). Néhány szerző tárgyalja a további általános függvényeket:^[forrás?]

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,dt={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}$

Az általánosított függvényt egyenértékű módon fejezi ki x > 0 esetekre a gamma-függvény, és az inkomplett gamma-függvény.

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0.\ }$

Így a hibafüggvény meghatározható az inkomplett gamma-függvény kifejezéseivel.

Komplementer hibafüggvény iterált integráljai

A komplementer hibafüggvény iterált integráljai:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,}$

hatvány sorral:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}$

melyből a szimmetrikus tulajdonságok következnek:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

és

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.}$

Implementációk

A hibafüggvény megtalálható a következő programozási nyelvekben

• C
• C99
• C++: C++11
• Fortran 2008
• Python
• Mathematica
• Haskell
• R
• Matlab
• Ruby
• A Google kereső kalkulátorként működhet és kiszámolja a „erf(...)” és „erfc(...)” értékeket.

Hivatkozások

Források

Irodalom

• Cuyt, A.A.M.; Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, W.B: Handbook of Continued Fractions for Special Functions. (hely nélkül): Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2  
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 7", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 978-1-4020-6948-2  
• Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP: "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function". (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 978-1-4020-6948-2  

Kapcsolódó szócikkek

• Gauss-függvény
• Szigmoid függvények
• Gauss-integrál
• Gamma-függvény
• Inkomplett gamma-függvény
• Q-függvény
• Teljes függvény
• Szingularitás
• Normális eloszlás
• Bithibaarány
• Határérték probléma
• Dawson-függvény

További információk

• http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.erf.html
• http://www.ams.org/journals/mcom/1969-23-107/S0025-5718-1969-0247736-4/S0025-5718-1969-0247736-4.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/Erf.html