Hétszögszámok

A hétszögszámok a figurális számokon belül a sokszögszámok közé tartoznak. Az n-edik hétszögszám h_n a közös csúcsból rajzolt, legfeljebb n pont oldalhosszúságú szabályos hétszögek körvonalai egymástól különböző pontjainak száma.

Az n-edik hétszögszám általánosan a következő képlettel adható meg:

${\displaystyle h_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$.

Az első néhány hétszögszám:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059 … (A000566 sorozat az OEIS-ben)

Párosság

A hétszögszámok párossága a páratlan-páratlan-páros-páros mintát követi. Egy hétszögszám ötszöröséhez egyet adva mindig háromszögszámot kapunk.

Általánosított hétszögszámok

Az általánosított hétszögszámok is a fenti képlettel állíthatók elő, de a negatív egész számokat is megengedve. A következő sorrendben szokás az általánosított hétszögszámokat előállítani: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., ami a következő sorozatot adja:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, … (A085787 sorozat az OEIS-ben)

Egy másik, az általánosított hétszögszámokat megadó képlet:

${\displaystyle T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor },}$

ahol T_n az n-edik háromszögszám.

Minden második általánosított hétszögszám „normál” hétszögszám is egyben. Az 1-en és a 70-en kívül egyetlen általánosított hétszögszám sem Pell-szám.^[1]

Reciprokösszeg

A hétszögszámok reciprokainak összegét a következő képlet adja meg:^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)}$

Hétszöggyök

Az x négyzetgyökének analógiájára kiszámítható x hétszöggyöke, ami azt jelenti, hogy a sorozat hányadik eleme adja x-et.

Az x hétszöggyökét a következő képlet adja:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}}.}$

Jegyzetek

1. ↑ B. Srinivasa Rao, "Heptagonal Numbers in the Pell Sequence and Diophantine equations ${\displaystyle 2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2}$" Fib. Quart. 43 3: 194
2. ↑ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. [2013. május 29-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. április 25.)