A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e78d7d7ebc6089a498ada99ba86baea7427ecc5)
alakú végtelen összeg, ahol
tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az
szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:
- egyedül a középpont
- valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
- az egész
vagy
.
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.
Konvergenciasugár
Az
körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit
-rel jelölve a hatványsor minden
-re konvergens, amire
. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
![{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6218c2232079e3fe6df099f7dc1b293a316494)
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
![{\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39aff6f15361db3322f94bbf6d1ea4e272b2301a)
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
esetén a hatványsor abszolút konvergens - ha
, akkor divergens - hogyha
, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról - ha pedig
, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden
-re, amire
.
Műveletek
Összeadás és skalárral szorzás
Ha
és
hatványsorok,
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d75a074dc09a8177c1f22a8219a35e4579c4f03)
![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b8ff67ed150105decafe713a16c4a57f5abdac)
c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,
akkor a
és
hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és
![{\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c448834729c7d8fe38fd706d45d19d09d278c37c)
![{\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75be9c4dd4ad359b26f6a5ff0de910018377fa4)
Szorzás
Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9baa9e5726a08db1645f7d6940b313708b8c3c74)
ahol
az
és a
sorozatok konvolúciója.
Deriválás és integrálás
Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfe5d4499219d8c53330bbdfc1eebb21470f64c)
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
![{\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7484cc82b55392a7e040ccaaac8035d489065887)
Hasonlóan számítható a primitív függvény:
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf94ff41aea8ff671d7f325190cbb293b8f81f7)
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
Példák
- A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
- Exponenciális függvény:
,
- a konvergenciasugár végtelen
- Logaritmus,
.
- A konvergenciasugár 1;
-ben konvergens,
-re divergens
- Négyzetgyök,
,
- a konvergenciasugár 1, és a sor
-ben és
-ben is konvergál
- Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort
Lásd még
Források
- Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
- Halász Gábor: Komplex függvénytan
- Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
- E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics