Körcikk

A körcikk a kör egy része, melyet két sugár és egy körív határol.

Területe

Legyen a körcikk α {\displaystyle \alpha \,} középponti szöge (radiánban) és a sugara r {\displaystyle r\,} . A teljes kör középponti szöge 2 π {\displaystyle 2\pi \,} , területe pedig r 2 π {\displaystyle r^{2}\pi \,} . A körcikk területe arányos a középponti szögével:

T = π r 2 ⋅ α 2 π = r 2 ( α 2 ) = 1 2 r 2 α {\displaystyle T=\pi r^{2}\cdot {\frac {\alpha }{2\pi }}=r^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {1}{2}}r^{2}\alpha } .

Ha a α {\displaystyle \alpha } szöget fokban adjuk meg, hasonló képlet vezethető le:

T = π r 2 ⋅ α 360 {\displaystyle T=\pi r^{2}\cdot {\frac {\alpha }{360}}}
Jelölések a súlypont és a másodrendű nyomaték képleteihez

Súlypontja

A körcikk súlypontjának távolsága a középponttól:

x s = 2 r sin ⁡ α 2 3 α 2 {\displaystyle x_{s}={\frac {2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}{3{\frac {\alpha }{2}}}}}

Másodrendű nyomaték

Másodrendű nyomaték a körcikk középpontján át fektetett x és y tengelyre:

I x = r 4 8 ( α − sin ⁡ α ) {\displaystyle I_{x}={\frac {r^{4}}{8}}(\alpha -\sin {\alpha })}
I y = r 4 8 ( α + sin ⁡ α ) {\displaystyle I_{y}={\frac {r^{4}}{8}}(\alpha +\sin {\alpha })}

Az S súlyponton átmenő ξ {\displaystyle \xi } és η {\displaystyle \eta } tengelyre:

I ξ = r 4 8 ( α − sin ⁡ α ) {\displaystyle I_{\xi }={\frac {r^{4}}{8}}(\alpha -\sin {\alpha })}
I η = r 4 72 α ( 9 α ( α + sin ⁡ α ) − 64 sin 2 ⁡ α 2 ) {\displaystyle I_{\eta }={\frac {r^{4}}{72\alpha }}(9\alpha (\alpha +\sin {\alpha })-64\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})}

Források

  • Pattantyús: Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.