Komplex függvény

A matematikában komplex függvénynek nevezünk egy leképezést, ha értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a komplex számok részhalmaza. Elsősorban a komplex analízis foglalkozik a komplex függvények jellemzésével.

Elemi tulajdonságok

  • Komplex függvények összege, különbsége, szorzata is komplex függvény az értelmezési tartományok metszetén.
  • Komplex függvények hányadosa is komplex függvény, de természetesen csak ott értelmezett, ahol a nevező nem nulla.
  • Komplex függvények kompozíciója is komplex függvény.

Példák

Elemi

Mivel minden valós szám egyben komplex is, a valós függvények triviális példái a komplex függvényeknek. Feltehetően a legegyszerűbb példák a valósrész- és a képzetesrész-operátorok, melyeket leggyakrabban Re illetve Im névvel illetnek:

a + b i = z ↦ R e ( z ) = a {\displaystyle a+bi=z\mapsto Re(z)=a}
a + b i = z ↦ I m ( z ) = b {\displaystyle a+bi=z\mapsto Im(z)=b}

A konjugátképzés is az elemibb komplex függvények közé tartozik:

a + b i = z ↦ z ¯ = a − b i {\displaystyle a+bi=z\mapsto {\overline {z}}=a-bi}

Az elforgatás operátor a komplex számnak megfelelő síkvektort forgatja el az origó körül:

r o t γ ( z ) = z e i γ {\displaystyle rot_{\gamma }(z)=ze^{i\gamma }}

Komplex szám abszolútértéke valós szám, de a valós számok halmaza beágyazható a komplex számsíkba, így az abszolútértékképzés is tekinthető komplex függvénynek:

a + b i = z ↦ | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle a+bi=z\mapsto |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

Algebrai

A komplex számok halmazán értelmezett aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, osztás és szorzás) segítségével is értelmezhetőek komplex függvények.

Központi szerepet játszanak a polinomfüggvények, melyek általános alakban a következő képlettel adhatóak meg:

f ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n {\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\dots +a_{n}z^{n}}

Polinomfüggvények hányadosait racionális függvényeknek hívjuk. Ezek általános alakja a következő:

f ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + ⋯ + b m z m {\displaystyle f(z)={a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\dots +a_{n}z^{n} \over b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\dots +b_{m}z^{m}}}

Kapcsolódó szócikkek

Források

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan. ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap


Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!