Koordinátaszingularitás

A földrajzi koordináta-rendszer koordinátaszingularitása az Északi- és a Déli-sarkon an

A fizikában akkor beszélünk koordinátaszingularitásról, ha egy koordináta-rendszerben annak belső tulajdonságai miatt egy jól meghatározható pontnak legalább egy koordinátája nem egyértelmű. Például a Föld koordináta-rendszerében az Északi-sark és a Déli-sark földrajzi hosszúsága nem adható meg egyértelműen, mivel minden hosszúsági kör itt metszi egymást. Eltérően a fizikai szingularitásoktól, egy megfigyelő számára semmi különös nincs ezekben a pontokban, mivel ez csak a koordináta-rendszer sajátossága. Egy másik koordináta-rendszerben vagy nem léteznek, vagy máshol bukkannak fel.

Definíció

Egy pontban koordinátaszingularitás van, ha valamelyik koordináta nem egyértelmű; ez azonban egy második koordináta-rendszerre való áttéréssel megszüntethető.[1][2]

Leírás

A koordináta-rendszerekben különböző helyzetekben léphetnek fel koordinátaszingularitások. Például, ha nem lehet egyértelmű ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} koordinátákat rendelni az R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} térben egy n {\displaystyle n} dimenziós részsokaság vagy absztrakt részsokaság pontjaihoz, ahol m ≥ n {\displaystyle m\geq n} , akkor ezekben a pontokban koordinátaszingularitás van. A koordinátaszingularitás természete felismerhető egy alkalmas koordináta-rendszer választásával, ahol ezeknek a pontoknak egyértelmű ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} koordinátáik vannak. Ez lehet az euklideszi térben a Descartes-féle koordináta-rendszer, sokaságok esetén egy térkép. Ekkor van egy T {\displaystyle T} koordinátatranszformáció, hogy

( x 1 , … , x n ) = T ( v 1 , … , v n ) , {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})=T(v_{1},\ldots ,v_{n}),}

ami azonban a koordinátaszingularitás miatt nem invertálható. Ha T {\displaystyle T} komponensenként differenciálható, ami az általában használt koordináta-rendszerekre teljesül, akkor a

J ( T ) = ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle J(T)={\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial (v_{1},\ldots ,v_{n})}}}

Jacobi-mátrix a koordinátaszingularitásokban szinguláris, innen a koordinátaszingularitás név.

Példák

Az ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} polárkoordináták

Polárkoordináta-rendszerben a sík pontjait az origótól mért távolság és helyvektorának az x tengely pozitív felével bezárt szöge határozza meg, ahol r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}} az origótól mért távolság és θ ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]} a helyvektor szöge. Polárkoordinátákról ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} Descartes-koordinátákra így térhetünk át:

x = r ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle x=r\cdot \cos \theta }
y = r ⋅ sin ⁡ θ {\displaystyle y=r\cdot \sin \theta }

Az ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} origóban koordinátaszingularitás van: ha r = 0 {\displaystyle r=0} , akkor a transzformáció eredménye független a θ {\displaystyle \theta } szögkoordinátától. Polárkoordinátákban az origónak nincs egyértelmű ábrázolása.

A hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszerből kapható háromdimenziós koordináta-rendszer. A két polárkoordinátához hozzávesszük a magasságot, h {\displaystyle h} -t harmadik koordinátaként. A transzformáció így bővül:

z = h {\displaystyle z=h}

Ebben a hengerkoordináta-rendszerben az összes ( 0 , 0 , z ) {\displaystyle (0,0,z)} pontban koordinátaszingularitás van.

Az ( r , ϕ , θ ) {\displaystyle (r,\phi ,\theta )} gömbkoordináták

Gömbkoordináta-rendszerben a háromdimenziós tér pontjait egy origótól mért távolság, r ∈ R + {\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}} , és két szögkoordináta, ϕ ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \phi \in (-\pi ,\pi ]} és θ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} adja meg. Az átszámítás ( x , y , z ) ∈ R 3 {\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}} Descartes-koordinátákba:

x = r ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi }
y = r ⋅ sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi }
z = r ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cdot \cos \theta }

A transzformáció a következő koordinátaszingularitásokat mutatja meg:

  • Ha θ = 0 {\displaystyle \theta =0} , akkor a ( 0 , 0 , r ) {\displaystyle (0,0,r)} pontok transzformációjának eredménye a pozitív z-tengelyen független a φ {\displaystyle \varphi } koordinátától.
  • Ha θ = π {\displaystyle \theta =\pi } , akkor a ( 0 , 0 , − r ) {\displaystyle (0,0,-r)} pont transzformációjának képe a negatív z-tengelyen független a φ {\displaystyle \varphi } koordinátától.
  • Ha r = 0 {\displaystyle r=0} , akkor a transzformáció eredménye, az ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} origó független a φ {\displaystyle \varphi } és θ {\displaystyle \theta } koordinátáktól.

Emiatt gömbkoordinátákban a teljes z-tengely összes pontjának nincs egyértelmű ábrázolása.

Az r = 1 {\displaystyle r=1} rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} és a ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,-1)} pontokban metszi a z-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} és a ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,-1)} pontokban van koordináta-szingularitás.

Jegyzetek

  1. ↑ Hans-Jürgen Schmidt. Einsteins Arbeiten in Bezug auf die moderne Kosmologie, 2. o. (2005) 
  2. ↑ Einsteins Kosmos: Untersuchungen zur Geschichte der Kosmologie. Hilmar W. Duerbeck, Wolfgang R. Dick, 110. o. (2005) 

Források

  • Franz Embacher. Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik, 2. überarbeitete, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 167. o. (2011. június 24.) 
  • Hans Jörg Dirschmid. Tensoren und Felder, 1., Wien: Springer, 492. o. (1996. június 24.) 
  • Thomas Filk, Domenico Giulini. Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit, 1., München: Beck, 243. o. (2004. június 24.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatensingularität című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.