Mittag-Leffler-tétel

A komplex analízisben Mittag-Leffler tétele azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott pólusokhoz van meromorf függvény. Megfordítva használható arra, hogy a meromorf függvényeket parciális törtekre bontsa. Testvére Weierstrass faktorizációs tétele, ami azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott nullhelyekhez van holomorf függvény.

A tételt a svéd Magnus Gösta Mittag-Leffler után nevezték el.

Állítása

Legyen D nyílt halmaz ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ben, és legyen ${\displaystyle E\subset D}$ zárt diszkrét részhalmaz. Ekkor minden ${\displaystyle a}$ komplex számra ${\displaystyle E}$-ben legyen ${\displaystyle p_{a}(z)}$ polinom ${\displaystyle 1/(z-a)}$-ban. Ekkor van egy ${\displaystyle f}$ meromorf függvény ${\displaystyle D}$-ben, hogy minden ${\displaystyle a\in E}$ esetén a ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ függvény szingularitása megszüntethető ${\displaystyle a}$-ban. Eszerint ${\displaystyle f}$ főrésze ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle p_{a}(z)}$.

Példa

Legyen f(z) olyan, hogy az összes pozitív egészeken egyszerű pólusa van, és reziduuma 1! A fenti jelölésekkel legyen

${\displaystyle p_{k}={\frac {1}{z-k}}}$

és ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$. A Mittag-Leffler-tétel azt állítja, hogy van egy ${\displaystyle f}$ meromorf függvény, aminek főrésze ${\displaystyle p_{k}(z)}$ minden pozitív ${\displaystyle z=k}$ esetén. Ez az ${\displaystyle f}$ megfelelő lesz. Konstruktívabban,

${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}}$.

Ez a sorozat normálisan konvergál teljes ${\displaystyle \mathbb {C} }$-n a kívánt függvényhez, ahogy az a Weierstrass-féle M-teszttel is igazolható.

Meromorf függvények pólus kiterjesztései

Néhány példa meromorf függvények pólus kiterjesztéseire:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\,\pi }}{\frac {2z}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

Bizonyítása

Jegyezzük meg, hogy ha ${\displaystyle E}$ véges, akkor legyen ${\displaystyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$. Ha ${\displaystyle E}$ nem véges, akkor legyen ${\displaystyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$, ahol F véges részhalmaza E-nek. Ha ${\displaystyle S_{F}(z)}$ nem konvergál, ha megközelíti F az E-t, akkor alkalmasan választott racionális függvényeket levonva a konvergencia biztosítható. A főrész változatlan marad, ha ezeknek a függvényeknek nincs pólusuk D-ben.

Források

• Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill (published 1979), ISBN 0-07-000657-1.
• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittag-Leffler's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.