Rezultáns

A matematikában a rezultáns a kommutatív algebra eszköze, ami segít megtalálni két polinom közös gyökeit. Többváltozós egyenletrendszerek esetén segít sorra kiküszöbölni az ismeretleneket. A rezultánst és más eszközöket a 19. században kezdték el tanulmányozni. Elsőként szimmetrikus rendszerekre használták, L Kronecker alkalmazta elsőként általános esetre. A modern komputeralgebrai rendszerekben rezultánsokat és magasabb dimenziós analógjaikat használják, hogy egy adott Gröbner-bázisból következtessenek az egyenletrendszer megoldásaira.

A számelméletben széles körben használják, akár közvetlenül, akár közvetve, a diszkriminánson keresztül, ami definíció szerint a polinom és deriváltja rezultánsa. A racionális vagy polinomiális együtthatós polinomok rezultánsa hatékonyan számítható. A komputeralgebra alapvető eszköze, és a legtöbb komputeralgebra rendszer beépített függvénye. Használják többek között a cilinderes algebrai dekompozícióhoz, racionális függvények integrálásához és a két változós polinomiális egyenletek által megadott görbék megrajzolásához.

Definíció

Legyenek f és g polinomok az ${\displaystyle R[X]}$ polinomgyűrű elemei; jelölje f fokát m, g fokát n! Az R gyűrűről feltesszük, hogy kommutatív és egységelemes.

${\displaystyle f=f_{0}+f_{1}X+\ldots +f_{m}X^{m}}$ és ${\displaystyle g=g_{0}+g_{1}X+\ldots +g_{n}X^{n}}$.

Ekkor a két polinom rezultánsa a Sylvester-mátrix determinánsa.

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}f_{m}&f_{m-1}&\cdots &&f_{0}&&&\\&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &&f_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &&f_{0}\\g_{n}&g_{n-1}&\cdots &&g_{0}&&&\\&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &&g_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &&g_{0}\\\end{pmatrix}}}$

A mátrix m sorban tartalmazza f együtthatóit, és n sorban g együtthatóit, a többi koordinátája nulla. Tehát a Sylvester-mátrix négyzetes, ${\displaystyle m+n}$ sorral és oszloppal.

Egy másik definíció szerint, ha f és g egy K test fölötti polinomok, akkor a rezultáns

${\displaystyle \prod _{(x,y):\,f(x)=g(y)=0}(x-y)}$

ahol a gyökök K algberai lezártjának elemei. Többszörös gyökök esetén a gyökök multiplicitásukkal szerepelnek. Következik, hogy a tényezők száma megegyezik f és g fokának szorzatával. Ha f és g főegyütthatója nem egy, akkor meg kell szorozni a p^degfq^degg tényezővel, ahol p az f, q a g együtthatója. Testek fölött a két definíció ekvivalens.

A rezultáns egy harmadik definíciója egy racionális kifejezésről beszél (ez testet feltételez), ami megfelel a következőknek:

• Ha a polinomoknak közös gyökük van, akkor értéke nulla.
• Ha értéke nulla, és legalább az egyik polinom főegyütthatója nem nulla, akkor a polinomoknak közös gyökük van.^[1]

Kiszámítása

Mivel a rezultáns a gyökök polinomfüggvénye, és invariáns permutációjukra, a rezultáns kiszámítható az elemi szimmetrikus polinomok segítségével.

A rezultáns, mint determináns kiszámítható ezzel a képlettel:

${\displaystyle p^{\deg(g)}\prod _{f(x)=0}g(x),}$

tehát minden rögzített f-re polinomosan függ g együtthatóitól. Szimmetria miatt minden rögzített g-re polinomosan függ f együtthatóitól. Következik, hogy a rezultáns f és g együtthatóinak polinomja.

A rezultáns változatlan marad, ha a g polinomot ${\displaystyle h=f{\bmod {g}}}$ helyettesíti. Ezután a módszer az így kapott h és f szerepének cseréjével folytatható. Mivel azonban h gyökei különbözhetnek g gyökeitől, ezért újra fel kell írni a determinánst, ahol h együtthatóit vezető nullákkal egészítjük ki. Iteratív kifejtéssel res(f,g)=q^degf-degh res(h,g), ahol q a g főegyütthatója. Az eljárás folytatásával az euklideszi algoritmus egy változatához jutunk.

Az eljárás annyi számtani műveletet igényel, aminek nagyságrendje megegyezik a polinomok fokainak szorzatával. Azonban minden egyes alkalommal ki kell számítani bizonyos együtthatók legnagyobb közös osztóját, amitől az algoritmus túl lassúvá válik.

A szubrezultáns pszeudo-maradék sorozatok segítenek elkerülni ezeket a költséges műveleteket. Egy még hatékonyabb algoritmus kihasználja a rezultáns jól viselkedik a gyűrűhomomorfizmusokra; az egész együtthatós polinomok esetén különböző prím modulusokra számítják ki, és a végén a kínai maradéktétellel rekonstruálják az eredményt.

Tulajdonságai

A Sylvester-mátrix transzponáltja az ${\displaystyle fp-gq=0}$ egyenlet rendszer mátrixa, ahol ez lineáris egyenletrendszerként van értelmezve a

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+\dots +p_{n-1}X^{n-1}}$ és ${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{m-1}X^{m-1}}$

kofaktor polinomokra.

Ha az f és a g polinomoknak van közös gyöke, akkor a rezultáns nullává válik. A másik irány bizonyításához az kell, hogy az R gyűrű egyértelmű faktorizációs gyűrű és integritási tartomány legyen; azaz az eddigi kikötések mellett nullosztómentes legyen, és nem null elemei egyértelműen prímelemekre bonthatók legyenek. Ez teljesül például, ha R test, az egész számok gyűrűje vagy polinomgyűrű. Ha ezek teljesülnek, és ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)=0}$, akkor f-nek és g-nek van pozitív fokú közös tényezője. Ha egy homomorfia megőrzi f és g fokát, akkor a rezultánsnak f és g képének rezultánsát felelteti meg.

Ha a polinomok együtthatói egy algebrailag zárt testből valók, például komplex számok, akkor az f és g polinomok lineáris tényezőkre bomlanak:

${\displaystyle f(X)=f_{m}\cdot (X-a_{1})\cdot \dots \cdot (X-a_{m})}$ und ${\displaystyle g(X)=g_{n}\cdot (X-b_{1})\cdot \dots \cdot (X-b_{n})}$.

Ekkor a rezultáns kifejezhető a gyökökkel:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)=(f_{m})^{n}\,g(a_{1})\cdots g(a_{m})=(-1)^{mn}(g_{n})^{m}\,f(b_{1})\cdots f(b_{n})=(f_{m})^{n}\,(g_{n})^{m}\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}(a_{i}-b_{j})}$.

A Cramer-szabállyal megmutatható, hogy mindig vannak olyan R-beli együtthatós A és B polinomok, hogy

${\displaystyle Af+Bg=\operatorname {Res} (f,g)}$.

Ezek az A és B polinomok adják a Sylvester-mátrix komplemensének utolsó oszlopát.

Teljesülnek a következők, ha f és g együtthatói egy test elemei:

• res(f,g) = (-1)^degfdeggres(g,f)
• res(hf,g)=res(f,g)res(h,g)
• Ha ${\displaystyle r=f+hg}$ és ${\displaystyle \deg r=\deg f}$, akkor ${\displaystyle \mathrm {res} (r,g)=\mathrm {res} (f,g)}$.
• Ha X, Y, f, g foka megegyezik és X=a₀₀f+a₀₁g, Y=a₁₀f+a₁₁g,

akkor ${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg f}\cdot \mathrm {res} (f,g)}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (f(-z),g(z))=\mathrm {res} (g(-z),f(z))}$

Alkalmazásai

• Ha x és y algebrai számok, és ${\displaystyle f(x)=g(y)=0}$, akkor ${\displaystyle z=x+y}$ x-ben gyöke az ${\displaystyle f(x)}$ és ${\displaystyle g(z-x)}$ rezultánsának. Továbbá ${\displaystyle t=xy}$ gyöke ${\displaystyle f(x)}$ és ${\displaystyle x^{n}g(t/x)}$ rezultánsának. Hozzávéve azt, hogy ${\displaystyle 1/y}$ az ${\displaystyle y^{n}Q(1/y)}$ gyöke, kapjuk, hogy az algebrai számok testet alkotnak.
• Egy polinom diszkriminánsa a polinom és deriváltjának rezultánsa.
• Az algebrai geometriában görbék metszéspontjának kiszámítására is használják. például definiáljanak

${\displaystyle f(x,y)=0}$

és

${\displaystyle g(x,y)=0}$

algebrai görbéket ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$-ban. Ha f-et és g-t polinomoknak tekintjük x-ben k[y]-beli együtthatókkal, akkor f és g rezultánsa polinom y-ban, aminek nullhelyei a metszéspontok y koordinátái, vagy az x tengellyel párhuzamos közös aszimptotái.

• A komputeralgebrában a legnagyobb közös osztó egész együtthatós moduláris képeinek elemzésének eszköze. Ez azt jelenti, hogy az együtthatókat modulo p tekintik, ahol p egy prímszám. A rezultánst gyakran a Lazard–Rioboo–Trager-módszerrel számítják, hogy megkapják két polinom hányadosának integrálját.
• A waveletek elméletében a rezultáns kapcsolatban áll a finomítható függvények átviteli mátrixának determinánsával.

Kapcsolat az euklideszi algoritmussal

Hasonló képletet kaphatunk a kibővített euklideszi algoritmussal. Ebből egy hatékony kiszámítási eljárást lehet levezetni, a szubrezultáns-eljárást.

Többváltozós polinomok rezultánsa

A két változós homogén polinomok rezultánsa nullává válik, ha a két polinomnak közös nem nulla megoldása van, vagy ekvivalensen, közös zérójuk van a projektív egyenesen. Általánosabban, a multipolinomiális rezultáns, multivariáns rezultáns vagy Macaulay-rezultáns n darab n változós homogén polinomra értelmezett polinom, ami nullává válik, ha van egy közös nem nulla megoldás, vagy ekvivalensen, ha az n projektív hiperfelületeknek közös zérója van az n-1 dimenziós projektív térben. A Gröbner-bázisokkal együtt ez a hatékony kiküszöbölési elmélet egyik fő eszköze.

Jegyzetek

Források

• Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M. & Zelevinsky, A.V. (1994), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3660-9
• MacAulay, F. S. (1902), "Some Formulæ in Elimination", Proc. London Math. Soc. 35: 3–27, DOI 10.1112/plms/s1-35.1.3
• Salmon, George (1885), Lessons introductory to the modern higher algebra (4th ed.), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., ISBN 978-0-8284-0150-0, <https://archive.org/details/salmonalgebra00salmrich>

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Resultante című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Resultant című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.