Tehetetlenségi nyomaték

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg×m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése ${\displaystyle I\,}$, ${\displaystyle J\,}$ vagy ${\displaystyle \Theta \,}$.

Áttekintés

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az ${\displaystyle I\,}$ skaláris alakot akkor használjuk, ha az ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb ${\displaystyle \mathbf {I} }$ tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon ${\displaystyle I\,}$-vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát az

${\displaystyle I{=}\ mr^{2}\,}$

definiálja, ahol

${\displaystyle m\,}$ a tömege és

${\displaystyle r\,}$ a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy ${\displaystyle N\,}$ darab ${\displaystyle m_{i}\,}$ tömegű, a forgástengelytől egyenként ${\displaystyle r_{i}\,}$ sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

${\displaystyle I{=}\ \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!}$

Folytonos ${\displaystyle \rho }$ sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

${\displaystyle I{=}\ \int \limits _{V}r^{2}(m)\,dm=\iiint \limits _{V}r^{2}(v)\,\rho (v)\,dv=\iiint \limits _{V}r^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!}$

ahol

${\displaystyle V\,}$ a test térfogata,

${\displaystyle r\,}$ a forgástengelytől mért távolság,

${\displaystyle m\,}$ a tömeg,

${\displaystyle v\,}$ a térfogat,

${\displaystyle \rho \,}$ a test pontszerű sűrűségének függvénye és

${\displaystyle x\,}$, ${\displaystyle y\,}$, ${\displaystyle z\,}$ a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek

Egyes nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

${\displaystyle I\approx k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!}$

ahol

${\displaystyle k\,}$ a testre jellemző tényező,

${\displaystyle M\,}$ a test tömege és

${\displaystyle R\,}$ a test sugara a forgástengelytől mérve.

A ${\displaystyle k\,}$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az ${\displaystyle R\,}$ sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

• ${\displaystyle k\,=1}$ – vékony gyűrű vagy vékony falú henger geometriai tengelye körül forgatva
• ${\displaystyle k\,=2/5}$ – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva

Más nem pontszerű testeknél a képlet:

${\displaystyle I\approx k\cdot M\cdot {L}^{2}\,\!}$

ahol

${\displaystyle k\,}$ a testre jellemző tényező,

${\displaystyle M\,}$ a test tömege és

${\displaystyle L\,}$ a test átmérője.

A ${\displaystyle k\,}$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az ${\displaystyle L\,}$ átmérő pedig a test két legtávolabbi pontjának távolsága. Például:

• ${\displaystyle k\,=1/12}$ – vékony rúd a súlypontján átmenő, a hosszára merőleges tengely körül forgatva
• ${\displaystyle k\,=1/3}$ – vékony rúd egyik végpontján átmenő tengely körül forgatva

Ezek alapján néhány homogén test tehetetlenségi nyomatéka^[1]

Test	Tengely	${\displaystyle \theta }$
Körhenger	szimmetriatengely	${\displaystyle {\frac {1}{2}}mR^{2}}$
	erre merőleges tengely	${\displaystyle {\frac {1}{4}}mR^{2}+{\frac {1}{12}}mh^{2}}$
Üres körhenger	szimmetriatengely	${\displaystyle {\frac {1}{2}}m(R_{1}^{2}-R_{2}^{2})}$
Derékszögű egyenes hasáb	a c éllel párhuzamos tengely	${\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})}$
Kocka	súlyponttengely	${\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}}$
Gömb	súlyponttengely	${\displaystyle {\frac {2}{5}}mR^{2}}$
Gömbhéj	súlyponttengely	${\displaystyle {\frac {2}{3}}mR^{2}}$
Ellipszoid	c tengely	${\displaystyle {\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})}$
Egyenes körkúp	szimmetriatengely	${\displaystyle {\frac {3}{10}}mR^{2}}$

Megfeleltetés a haladó és forgó mozgások között^[2]

Párhuzamos tengelyek tétele

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely ${\displaystyle R\,}$ távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

${\displaystyle I_{\mathrm {1} }=I_{\mathrm {s} }+MR^{2}\,\!}$

ahol

${\displaystyle M\,}$ a merev test tömege,

${\displaystyle I_{1}\,}$ az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,

${\displaystyle I_{s}\,}$ a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és

${\displaystyle R\,}$ a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. ${\displaystyle N\,}$ számú, egyenként ${\displaystyle m_{i}\,}$ tömeggel rendelkező, ${\displaystyle v_{i}\,}$ sebességű pont ${\displaystyle E_{k}\,}$ mozgási energiája egyenlő:

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}\,\!}$

Egy merev testre, mely ${\displaystyle \omega \,}$ szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

${\displaystyle v_{i}=\omega r_{i}\,\!}$ (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét ${\displaystyle r_{i}\,}$ a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}\omega ^{2}r_{i}^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}$

És végül a végképletre írható:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}$

Impulzusmomentum és nyomaték

Egy tömegpontokból álló rendszer ${\displaystyle \mathbf {L} }$ impulzusmomentumát a ${\displaystyle p_{i}\,}$ impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított ${\displaystyle r_{i}\,}$ távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}$

Az ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ egységvektorral jellemzett forgástengely körül ${\displaystyle \omega \,}$ szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\omega \mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {r} _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

ahol

a szögsebességvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}{=}\ \omega \mathbf {\hat {n}} }$ és

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ összefüggését az ${\displaystyle \mathbf {L} }$ definíciójába:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i})={\boldsymbol {\omega }}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}=I\omega \mathbf {\hat {n}} }$

ahol felhasználtuk azt, hogy az ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} _{i}=0}$.

Az ${\displaystyle \mathbf {N} }$ nyomaték az ${\displaystyle \mathbf {L} }$ impulzusmomentum változási sebessége:

${\displaystyle \mathbf {N} \ {=}\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$

Ha az ${\displaystyle I\,}$ tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ forgástengely körül forgatja a testet és így ${\displaystyle \mathrm {I} \,}$ nem változik), írható:

${\displaystyle \mathbf {N} \ {=}\ I{\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {\hat {n}} =I\alpha \mathbf {\hat {n}} }$

ahol

${\displaystyle \alpha \,}$ az úgynevezett szöggyorsulás az ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ tengely körül.

Megjegyezzük, ha ${\displaystyle I\,}$ nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró (${\displaystyle x\;}$, ${\displaystyle y\;}$ és ${\displaystyle z\;}$) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

${\displaystyle I_{xx}=\;}$ az ${\displaystyle x\;}$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

${\displaystyle I_{yy}=\;}$ az ${\displaystyle y\;}$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

${\displaystyle I_{zz}=\;}$ a ${\displaystyle z\;}$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció

Egy merev test ${\displaystyle N\,}$ darab ${\displaystyle m_{i}\,}$ tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}}$.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

${\displaystyle I_{xx}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!}$,

${\displaystyle I_{yy}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!}$,

${\displaystyle I_{zz}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!}$,

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}y_{i}\,\!}$,

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}z_{i}\,\!}$ és

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}\,\!}$

derékszögű ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})\,}$ koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt ${\displaystyle I_{xx}\,}$ jelöli az ${\displaystyle x\,}$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az ${\displaystyle x\,}$-tengely körül forog, ${\displaystyle I_{xy}\,}$ jelöli az ${\displaystyle y\,}$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az ${\displaystyle x\,}$-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

${\displaystyle \mathbf {I} =\int _{V}\left[\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {\delta } -\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right]\ dm}$

ahol ${\displaystyle \left(\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)_{i,j}=\mathbf {r} _{i}\mathbf {r} _{j}}$ és ${\displaystyle \mathbf {\delta } \,}$ a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra

Az ${\displaystyle I}$ skalár bármely ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ tengelyre a ${\displaystyle \mathbf {I} }$ tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

${\displaystyle I=\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}n_{j}I_{jk}n_{k}}$

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}}$

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a ${\displaystyle I_{1}\,}$, ${\displaystyle I_{2}\,}$ és ${\displaystyle I_{3}\,}$ állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

${\displaystyle I_{1}\leq I_{2}\leq I_{3}}$

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})}$.

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre ${\displaystyle m\,}$-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus ${\displaystyle 360^{\circ }/m\,}$ forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha ${\displaystyle m>2\,}$, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt ${\displaystyle \mathbf {R} \,}$ helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

${\displaystyle \mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {displaced} }=\mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {centroid} }+M\left[\delta _{jk}\,\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} -R_{j}R_{k}\right]}$

ahol ${\displaystyle M\,}$ a merev test tömege és ${\displaystyle \delta _{jk}\,}$ a Kronecker-delta-függvény.

Más mechanikai mennyiségek

A ${\displaystyle \mathbf {I} }$ tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\omega _{1}I_{1}\mathbf {e} _{1}+\omega _{2}I_{2}\mathbf {e} _{2}+\omega _{3}I_{3}\mathbf {e} _{3}}$

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

${\displaystyle E_{k}={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\,\!}$

ahol ${\displaystyle L_{k}\ {=}\ I_{k}\omega _{k}}$

${\displaystyle k=1,2,3\,}$-re.

Meghatározása méréssel

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A ${\displaystyle T\,}$ lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért ${\displaystyle d\,}$ távolságából és a test ${\displaystyle m\,}$ tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

${\displaystyle I=mgd{\frac {T^{2}}{4\pi ^{2}}}}$

Lásd még

• Tehetetlenségi nyomatékok listája
• Tehetetlenségi tenzorok listája
• Nyomaték
• Forgási energia
• Merev test
• Merev forgórész

Források

• Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Jegyzetek

Külső hivatkozások

• Mechanika
• Tehetetlenségi nyomatékok táblázata (angol)
• Tehetetlenségi nyomaték és perdület a sulineten
• A tehetetlenségi tenzor (angol)