Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$^[1]. Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lceil 0,\!8\rceil =1}$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil^[2].

Sebaliknya, suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)}$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ${\displaystyle x}$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan ${\displaystyle x}$^[1]. Sebagai contoh, nilai dari ${\displaystyle \lfloor 3,\!14\rfloor =3}$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar^[2].

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}}$ dan ${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$.[1]

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan ${\displaystyle [x]}$ atau terkadang dinotasikan sebagai ${\displaystyle \operatorname {int} (x)}$^[3] dan dirumuskan sebagai^[3][4]

${\displaystyle [x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau ${\displaystyle \pi }$ yang bernilai ${\displaystyle 3.1415926\dots }$, maka ${\displaystyle [\pi ]=3}$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

Sejarah

Sifat dan identitas

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:^[5]

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil }$ untuk suatu ${\displaystyle x}$ bilangan real.
• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x}$ dan ${\displaystyle \lceil x\rceil =x}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat.
• ${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1}$ jika ${\displaystyle x}$ adalah bilangan real dan ${\displaystyle 0}$ bila ${\displaystyle x}$ bilangan bulat.
• Untuk suatu ${\displaystyle n}$ bilangan bulat, ${\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n}$.

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

• ${\displaystyle [-x]=-[x]}$

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:^[6][7][8]

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]}$ untuk ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila ${\displaystyle x}$ adalah bilangan bulat. Bila ${\displaystyle x}$ bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana^[9], yakni bernilai 0.

Integral

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

• ${\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\mathrm {d} x=x\lfloor x\rfloor }$.^[10]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

• ${\displaystyle \int \lceil x\rceil \,\mathrm {d} x=x\lceil x\rceil }$.^[11]

Representasi deret

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$ asalkan ${\displaystyle x}$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.^[12]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

${\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$ asalkan ${\displaystyle x}$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.^[13]

Rujukan

1. ^ ^{a b c} Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023.
2. ^ ^{a b} Gatot Muhsetyo (2019). Matematika Diskrit. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 9786023924127. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-02. Diakses tanggal 2023-05-22.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2021-11-17. 
4. ^ "integer part". planetmath.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-05-06. Diakses tanggal 2021-11-16. 
5. ^ "Properties of Floors and Ceilings". www.bookofproofs.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-16. Diakses tanggal 2021-11-16. 
6. ^ Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015, ISBN 1472117158 (n.p.)
7. ^ Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259
8. ^ John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, ISBN 0387947469, hlm. 151
9. ^ "Differentiable". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-09. Diakses tanggal 2021-11-24. 
10. ^ "Floor function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-09-13. Diakses tanggal 2021-11-24. 
11. ^ "Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-24. 
12. ^ "Floor function: Series representations (subsection 06/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-26. Diakses tanggal 2021-11-26. 
13. ^ "Ceiling function: Series representations". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-26.