Altezza di scala

In ambito scientifico, l’altezza di scala, normalmente denotata con la lettera H, è la distanza entro cui una data proprietà fisica varia di un fattore "e", il numero di Eulero, base del logaritmo naturale, pari a circa 2,71828.

Altezza di scala nei modelli semplici della pressione atmosferica

Nelle atmosfere planetarie, l'altezza di scala è l'incremento di altitudine necessario a far variare la pressione atmosferica di un valore e. Tale valore rimane costante se la temperatura rimane costante.

H può essere calcolato da:[1][2]

H = k T m g {\displaystyle H={\frac {kT}{mg}}}

o in alternativa da

H = R T M g {\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}}

dove:

  • k = costante di Boltzmann = 1,38×10−23 J·K−1
  • R = costante dei gas
  • T = temperatura atmosferica media in kelvin = 250 K[3] per la Terra
  • m = massa di una molecola di gas (in kg)
  • M = massa di una mole di gas
  • g = accelerazione di gravità sulla superficie planetaria (m/s²)

La pressione (forza per unità di area) a una data altitudine è il risultato del peso dell'atmosfera soprastante. Se all'altezza z l'atmosfera ha una densità ρ e una pressione p, lo spostamento infinitesimo verticale verso l'alto dz provocherà una diminuzione di pressione dP eguale al peso dello strato di atmosfera di spessore dz.

Per cui:

d P d z = − g ρ {\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho }

dove g è l'accelerazione di gravità. Per piccoli dz è possibile considerare g come costante; il segno meno indica che la pressione diminuisce all'aumentare dell'altezza. Pertanto usando l'equazione di stato per un gas ideale di massa molecolare media M alla temperatura T, la densità può essere espressa come

ρ = M P k T {\displaystyle \rho ={\frac {MP}{kT}}}

Combinando queste equazioni si ottiene

d P P = − d z k T M g {\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {kT}{Mg}}}}

che può essere incorporata nell'equazione per H vista sopra per dare:

d P P = − d z H {\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}}

che non varia se non varia la pressione. Integrando e assumendo che P0 sia la pressione all'altezza z = 0 (pressione a livello del mare), la pressione all'altezza z può essere scritta come:

P = P 0 exp ⁡ ( − z H ) {\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)}

Questo implica un decadimento esponenziale della pressione con l'altezza.[4]

Nell'atmosfera terrestre, la pressione a livello del mare P0 è in media di 1,01×105 Pa, mentre la massa molecolare media dell'aria secca è 28,964 u; ne consegue pertanto che 28,964 × 1,660×10−27 = 4,808×10−26 kg e g = 9,81 m/s². Essendo funzione della temperatura, l'altezza di scala dell'atmosfera terrestre è perciò 1,38/(4,808 × 9,81) × 103 = 29,26 m/deg.

Per alcuni valori rappresentativi della temperatura dell'aria, l'altezza di scala è:

T = 290 K, H = 8500 m
T = 273 K, H = 8000 m
T = 260 K, H = 7610 m
T = 210 K, H = 6000 m

Questi valori andrebbero confrontati con la temperatura e la densità dell'atmosfera terrestre in un grafico NRLMSISE-00, dove si vede che la densità dell'aria diminuisce da 1200 g/m3 a livello del mare a 0,53 = 0,125 g/m3 a 70 km, che corrisponde a un fattore 9600, indicando un fattore di scala di 70/ln(9600) = 7,64 km, consistente con una temperatura media dell'aria in quell'intervallo prossima a 260 K.

È da notare che:

  • La densità è correlata alla pressione dalla legge dei gas perfetti, pertanto – a parte qualche scostamento legato al fatto che la temperatura varia – anche la densità diminuirà esponenzialmente con l'altezza partendo da un valore a livello del mare di ρ0 all'incirca uguale a 1,2 kg m−3.
  • Per altezze superiori a 100 km, la diffusione molecolare implica che ogni specie atomica molecolare ha la propria altezza di scala.

Esempi planetari

I valori approssimati di scala per alcuni corpi del sistema solare sono:

  • Sole: ≈130 km[5]
  • Venere: 15,9 km[6]
  • Terra: 8,5 km[7]
  • Marte: 11,1 km[8]
  • Giove: 27 km[9]
  • Saturno: 59,5 km[10]
  • Urano: 27,7 km[12]
  • Nettuno: 19,1–20,3 km[13]

Note

  1. ^ Glossary of Meteorology - scale height, su glossary.ametsoc.org, American Meteorological Society (AMS).
  2. ^ Pressure Scale Height, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research.
  3. ^ (EN) Daniel J. Jacob, Introduction to Atmospheric Chemistry, su acmg.seas.harvard.edu, Princeton University Press, 1999. URL consultato il 22 maggio 2016 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2013).
  4. ^ Example: The scale height of the Earth's atmosphere (PDF), su iapetus.phy.umist.ac.uk. URL consultato il 22 maggio 2016 (archiviato dall'url originale il 16 luglio 2011).
  5. ^ (EN) Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectropolarimetry with new generation solar telecopes (PDF), in Memorie della Società Astronomica Italiana, vol. 84, 2013, p. 391.
  6. ^ Venus Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
  7. ^ Earth Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
  8. ^ Mars Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
  9. ^ Jupiter Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013 (archiviato dall'url originale il 5 ottobre 2011).
  10. ^ Saturn Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013 (archiviato dall'url originale il 21 agosto 2011).
  11. ^ C. G. Justus, Aleta Duvall e Vernon W. Keller, Engineering-Level Model Atmospheres For Titan and Mars (DOC), su International Workshop on Planetary Probe Atmospheric Entry and Descent Trajectory Analysis and Science, Lisbon, Portugal, October 6–9, 2003, Proceedings: ESA SP-544, ESA, 1º agosto 2003. URL consultato il 28 settembre 2013.
  12. ^ Uranus Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
  13. ^ Neptune Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
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