Ampiezza di scattering

In fisica quantistica, l'ampiezza di scattering (o ampiezza di diffusione) è l'ampiezza di probabilità dell'onda sferica prodotta dall'interazione di un'onda piana con una particella puntiforme.[1]

Il processo di scattering è descritto dalla funzione d'onda

ψ ( r ) = e i k ⋅ r + f ( θ ) e i k r r , {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k\cdot r} }+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}

dove r ≡ ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)} è il vettore posizione con r ≡ ‖ r ‖ {\displaystyle r\equiv \lVert \mathbf {r} \rVert } ; e i k ⋅ r {\displaystyle e^{i\mathbf {k\cdot r} }} è l'onda piana incidente con vettore d'onda k {\displaystyle \mathbf {k} } ( k ≡ ‖ k ‖ {\displaystyle k\equiv \lVert \mathbf {k} \rVert } ); e i k r / r {\displaystyle e^{ikr}/r} è l'onda sferica diffusa; θ è l'angolo di scattering; f ( θ ) {\displaystyle f(\theta )} è l'ampiezza di scattering. La dimensione dell'ampiezza di scattering è la lunghezza.

L'ampiezza di scattering è un'ampiezza di probabilità; la sezione d'urto differenziale in funzione dell'angolo di scattering è data dal suo modulo al quadrato,

d σ d Ω = | f ( θ ) | 2 . {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.}

Sviluppo in onde parziali

Lo stesso argomento in dettaglio: Analisi in onde parziali.

Nello sviluppo in onde parziali l'ampiezza di scattering è rappresentata da una sommatoria sulle onde parziali,[2]

f = ∑ ℓ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 1 ) f ℓ P ℓ ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )} ,

dove f ℓ {\displaystyle f_{\ell }} è l'ampiezza di scattering parziale e P ℓ {\displaystyle P_{\ell }} sono i polinomi di Legendre.

L'ampiezza parziale può essere espressa tramite l'elemento di onda parziale della matrice S S ℓ {\displaystyle S_{\ell }} ( = e 2 i δ ℓ {\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}} ) e lo sfasamento di scattering δ ℓ {\displaystyle \delta _{\ell }} come

f ℓ = S ℓ − 1 2 i k = e 2 i δ ℓ − 1 2 i k = e i δ ℓ sin ⁡ δ ℓ k = 1 k cot ⁡ δ ℓ − i k . {\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}

Allora la sezione d'urto differenziale è data da[3]

d σ d Ω = | f ( θ ) | 2 = 1 k 2 | ∑ ℓ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 1 ) e i δ ℓ sin ⁡ δ ℓ P ℓ ( cos ⁡ θ ) | 2 {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}} ,

e la sezione d'urto totale diventa

σ = 2 π ∫ 0 π d σ d Ω sin ⁡ θ d θ = 4 π k Im ⁡ f ( 0 ) {\displaystyle \sigma =2\pi \int _{0}^{\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\sin \theta \,d\theta ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f(0)} ,

dove Im ⁡ f ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {Im} f(0)} è la parte immaginaria di f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} . Questa uguaglianza prende il nome di teorema ottico.

Raggi X

La lunghezza di scattering per i raggi X è la lunghezza di scattering di Thomson (o il raggio classico dell'elettrone).

Neutroni

Il processo di scattering di neutroni nucleari dipende dalla lunghezza di scattering neutronica spesso rappresentata da b {\displaystyle b} .

Formalismo quantistico

Un approccio quantistico è dato dal formalismo della matrice S.

Note

  1. ^ Nouredine Zettili, Quantum mechanics: concepts and applications, 2ª ed., Wiley, 2009, p. 623, ISBN 978-0-470-02678-6, OCLC 255894625. URL consultato il 19 gennaio 2020.
  2. ^ Michael Fowler, Scattering II: Partial Waves, su galileo.phys.virginia.edu. URL consultato il 19 gennaio 2020.
  3. ^ Leonard I. Schiff, Quantum Mechanics, New York, McGraw Hill, 1968, pp. 119–120.

Voci correlate

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