Angolo solido

In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette che hanno origine in uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e passanti per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l'angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido $\Omega$ è definita come $A/R^{2}$ , dove $A$ è l'area della porzione di superficie sferica di raggio $R$ vista sotto l'angolo $\Omega$ . Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano $\theta$ in radianti come $s/r$ , dove $s$ è la lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio $r$ sotteso da $\theta$ . L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura $4\pi$ . Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per $(180/\pi )^{2}$ , ovvero per $\approx 3282,8$ . Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Esempi

Nel caso di un cono di apertura $\alpha$ , la misura dell'angolo solido $\Omega$ rispetto al vertice è uguale a:

\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).

Caso particolare è l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a $\pi$ . La formula diventa:

\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\pi }{2}}\right)=2\pi (1-0)=2\pi ,

che è uguale alla metà di $4\pi$ che è l'intero angolo solido.

Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici ${\mathbf {R} }_{1}$ , ${\mathbf {R} }_{2}$ e ${\mathbf {R} }_{3}$ e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:

\tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {|{\mathbf {R} }_{1}\cdot ({\mathbf {R} }_{2}\times {\mathbf {R} }_{3})|}{R_{1}R_{2}R_{3}+({\mathbf {R} }_{1}\cdot {\mathbf {R} }_{2})R_{3}+({\mathbf {R} }_{2}\cdot {\mathbf {R} }_{3})R_{1}+({\mathbf {R} }_{3}\cdot {\mathbf {R} }_{1})R_{2}}},

dove:

{\mathbf {R} }_{i}

è la rappresentazione vettoriale del punto

i

;

R_{i}

denota la distanza del punto

i

dall'origine (norma euclidea di

{\mathbf {R} }_{i}

);

{\mathbf {R} }_{i}\cdot {\mathbf {R} }_{j}

denota il prodotto scalare;

{\mathbf {R} }_{i}\times {\mathbf {R} }_{j}

denota il prodotto vettoriale;

|\cdot |

denota il valore assoluto.

$\Omega$ è anche l'area del triangolo che giace in una sfera centrata nell'origine e di raggio unitario, avente come lati i segmenti di intersezione della sfera con i piani passanti per l'origine e due vertici.

Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origine è visibile la faccia interna del triangolo ( $+$ ) o la faccia esterna ( $-$ ). L'orientazione del triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).