Equazione di Smoluchowski

In fisica l'equazione di Smoluchowski, il cui nome è dovuto a Marian von Smoluchowski, è la correzione della seconda legge di Fick con l'aggiunta di un termine di smorzamento che ha origine da una forza − ∇ U {\displaystyle -\nabla U} smorzata da un attrito viscoso con coefficiente ζ {\displaystyle \zeta } tendente a spostare la densità verso regioni a minima energia potenziale U {\displaystyle U} .[1]

Sia ϕ ( r , t ) {\displaystyle \phi (r,t)} una concentrazione, D {\displaystyle D} la costante di diffusione, ζ {\displaystyle \zeta } il fattore di spostamento e U ( r , t ) {\displaystyle U(r,t)} un'energia potenziale. Allora l'equazione di Smoluchowski descrive l'evoluzione temporale della densità secondo l'equazione:

∂ ϕ ∂ t = ∇ ⋅ ( D ∇ ϕ ) + ζ − 1 ∇ ⋅ ( ϕ ∇ U ) = ∇ 2 ϕ + ( ∇ D + ζ − 1 ∇ U ) ∇ ϕ + ζ − 1 ∇ 2 U ϕ {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla \phi )+\zeta ^{-1}\nabla \cdot (\phi \nabla U)=\nabla ^{2}\phi +(\nabla D+\zeta ^{-1}\nabla U)\nabla \phi +\zeta ^{-1}\nabla ^{2}U\phi }

L'equazione è consistente con il moto di una particella che obbedisce ad un'equazione differenziale stocastica, con termine − ζ − 1 ∇ U {\displaystyle -\zeta ^{-1}\nabla U} e diffusività D {\displaystyle D} .

L'equazione di Smoluchowski è formalmente identica all'equazione di Fokker-Planck, con l'unica differenza nell'interpretazione fisica di w {\displaystyle w} : una distribuzione di particelle nello spazio nel primo caso, di velocità nel secondo.

Soluzione stazionaria

Una soluzione all'equazione di Smoluchowski invariante nel tempo è:

ϕ ( x ) = C e − D − 1 ζ − 1 U ( x ) {\displaystyle \phi (x)=Ce^{-D^{-1}\zeta ^{-1}U(x)}}

dove C {\displaystyle C} è una costante di normalizzazione. Quindi nello stato stazionario si trovano alte concentrazioni in presenza di bassi potenziali, e l'accumulazione è maggiore quando la diffusività D {\displaystyle D} o la ζ {\displaystyle \zeta } sono piccole. La distribuzione è formalmente identica alla distribuzione canonica della fisica statistica, e strettamente legata alla distribuzione di Boltzmann.

Altre equazioni di Smoluchowski

Nella prima metà del XX secolo diverse equazioni venivano chiamate equazioni di Smoluchowski. In una rassegna,[2] Chandrasekhar affermava nel 1943 che l'equazione di diffusione con termine di spostamento "viene talvolta chiamata equazione di Smoluchowski"; da allora, è diventato d'uso in letteratura. Vi sono anche l'equazione di coagulazione di Smoluchowski e la relazione di Einstein–Smoluchowski.

Note

  1. ^ M. v. Smoluchowski, Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung, Ann. Phys. 353 (4. Folge 48), 1103–1112 (1915) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pms/pms2/pms2132.pdf
  2. ^ S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943), equation (312).

Voci correlate

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