Identità di Brahmagupta

In matematica, l'identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l'insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2   ( 1 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}}

Ad esempio,

( 1 2 + 4 2 ) ( 2 2 + 7 2 ) = 30 2 + 1 2 = 26 2 + 15 2 . {\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.}

Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L'identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell'insieme dei numeri interi.

Questa identità è un caso speciale (n = 2) dell'identità di Lagrange. Brahmagupta dimostrò ed utilizzò un'identità più generale:

( a 2 + n b 2 ) ( c 2 + n d 2 ) = ( a c − n b d ) 2 + n ( a d + b c ) 2   ( 3 ) = ( a c + n b d ) 2 + n ( a d − b c ) 2 , ( 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},\qquad \qquad (4)\end{aligned}}}

che mostra che l'insieme di tutti i numeri della forma x 2 + n y 2 {\displaystyle x^{2}+ny^{2}} è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

L'identità dei quattro quadrati di Eulero è un'identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un'identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.

Storia

Quest'identità è stata scoperta dal matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598-668), che la generalizzò. La sua opera Brāhmasphuṭasiddhānta fu successivamente tradotta, dal Sanscrito, in arabo da Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, in seguito in persiano, e infine in latino nel 1126.[1] L'identità riapparve nel 1225 all'interno del Liber Quadratorum di Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Tuttavia, è possibile che l'identità fosse già nota a Diofanto di Alessandria nel III secolo (Arithmetica - III, 19).

Relazione con i numeri complessi

Se a, b, c e d sono numeri reali, questa identità è equivalente alla proprietà della moltiplicazione dei valori assoluti dei numeri complessi:

| a + b i | | c + d i | = | ( a + b i ) ( c + d i ) | {\displaystyle |a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|}

dato che

| a + b i | | c + d i | = | ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) | , {\displaystyle |a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,}

elevando al quadrato entrambi i membri

| a + b i | 2 | c + d i | 2 = | ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) | 2 , {\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}

e ricorrendo alla definizione di valore assoluto,

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 . {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}

Applicazione all'equazione di Pell

Nel suo contesto originale, Brahmagupta applicò la sua scoperta alla soluzione dell'equazione di Pell,

x 2 − N y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1.}

Usando l'identità nella forma più generale

( x 1 2 − N y 1 2 ) ( x 2 2 − N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 − N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 , {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},\,}

osservò che, date due triple (x1, y1, k1) e (x2, y2, k2), soluzioni di x2 − Ny2 = k, allora anche

( x 1 x 2 + N y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 , k 1 k 2 ) {\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})}

è una soluzione della medesima equazione.

Questo non permise soltanto di generare infinite soluzioni di x2 − Ny2 = 1 partendo da una sola soluzione, ma anche, dividendo ogni membro per k1k2, di ottenere spesso soluzioni intere o "quasi intere". Il metodo generale per risolvere l'equazione di Pell, ad opera di Bhāskara II nel 1150, chiamato metodo Chakravala, è basato anche su questa identità.[2]

Note

  1. ^ George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, p. 306. Princeton University Press. ISBN 0691006598.
  2. ^ John Stillwell, Mathematics and its history, 2ª ed., Springer, 2002, pp. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6.

Collegamenti esterni

  • Brahmagupta's identity at PlanetMath
  • Fibonacci identity - su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
  • Brahmagupta-Fibonacci identity, su pballew.net. URL consultato il 19 gennaio 2011 (archiviato dall'url originale il 14 maggio 2011).
  • A Collection of Algebraic Identities, su sites.google.com. URL consultato il 2 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 17 aprile 2018).
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