Regola del quoziente

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In analisi matematica, la regola del quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del quoziente di due funzioni derivabili.

La derivata del rapporto fra due funzioni è un rapporto avente come numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno la derivata del denominatore per il numeratore, e come denominatore il quadrato del denominatore originario.

${\displaystyle D{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}}$

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che g(x), essendo al denominatore, non si annulli mai nell'intervallo o nel punto interessato dal calcolo per non rendere indefinito il risultato.

La regola del quoziente però può anche essere considerata un caso particolare della regola del prodotto - anch'essa utilizzata per la derivazione - con secondo fattore 1/g(x), solo che spesso torna più facile ai fini del calcolo per la maggior complicanza della derivata dell'inversa.

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

${\displaystyle F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\qquad \qquad (1)}$

Si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x e g(x) non nulla, che:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}=\left[{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]\cdot {\frac {1}{h}}}$

Si riduce tutto al minimo comune multiplo:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}}$

Ora aggiungiamo e togliamo f(x)g(x):

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}}$

Raccogliendo f(x) e g(x) e sistemando i numeratori si viene a

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\;-\;f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)g(x+h)}}}$

Siccome g(x) è, per ipotesi, non nulla e derivabile in x, quindi è qui anche continua:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)}$.

Per la (1), si conclude che:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)}$

e quindi ${\displaystyle {\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}}$ cvd.

Applicando la regola del prodotto e la regola della funzione reciproca, si ha:

${\displaystyle D{\frac {f(x)}{g(x)}}\;=\;D\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\;=\;f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {-g'(x)}{g^{2}(x)}}\;=\;{\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}}$

e si conclude.

Ad esempio: ${\displaystyle \;\;\;D\tan x=D{\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$

• Regole di derivazione
• Regola del prodotto
• Regola della somma

• (EN) quotient rule, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Regola del quoziente, su MathWorld, Wolfram Research.

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